Ableitung – mit einer detaillierten Aufschlüsselung jedes Schritts und einer Grafik
Funktion f(x)
Derivat
Wie es berechnet wurde – Schritt für Schritt
Jeder Schritt benennt die angewendete Regel und zeigt, was ersetzt wurde, sodass die Lösung in Ihr Notizbuch kopiert werden kann.
Graph der Funktion und ihrer Ableitung
Die blaue Kurve ist die Funktion f(x), die orange ist die Ableitung f′(x). Grüner Hintergrund: f′(x) > 0 und die Funktion steigt. Roter Hintergrund: f′(x) < 0 und die Funktion nimmt ab. Die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, werden in der Grafik markiert – das sind die Extrema (Höhepunkte und Täler).
Was ein Derivat ist – drei Bedeutungen
Geometrische Bedeutung
Die Ableitung f′(x₀) ist die Steigung der Tangente zum Graphen am Punkt x₀, also die Tangente seines Neigungswinkels. Eine große Ableitung bedeutet einen steilen Anstieg, eine negative Eins bedeutet einen Abfall, Null bedeutet, dass die Tangente horizontal verläuft (ein Gipfel oder ein Tal). Genau deshalb sagt Ihnen das Vorzeichen der Ableitung, ob die Funktion steigt oder fällt.
Physikalische Bedeutung
Wenn eine Funktion die Position eines Körpers als Funktion der Zeit s(t) beschreibt, dann ist die Ableitung s′(t) die augenblickliche Geschwindigkeit und die zweite Ableitung s''(t) die Beschleunigung. Im Allgemeinen ist die Ableitung die Änderungsrate einer Größe: wie schnell sich y ändert, wenn sich x ändert. Dies ist die ursprüngliche Bedeutung, für die Newton die Ableitung eingeführt hat.
Algebraische Bedeutung
Formal ist die Ableitung der Grenzwert des Inkrementverhältnisses: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h für h → 0. Wir machen einen kleinen Schritt h, sehen, wie stark sich die Funktion geändert hat, und dividieren durch die Länge des Schritts. Wenn sich der Schritt Null nähert, nähert sich das Verhältnis der genauen Änderungsrate an diesem Punkt an.
Die Ableitung und Extrema
An den Maximal- und Minimalpunkten verläuft die Tangente horizontal, sodass die Ableitung dort gleich Null ist. Dies ist die Haupttechnik zum Ermitteln größter und kleinster Werte: Setzen Sie die Ableitung auf Null und ermitteln Sie die Wurzeln. Wenn die Ableitung beim Durchgang durch einen solchen Punkt das Vorzeichen von „+“ nach „−“ ändert, ist sie ein Maximum; von „−“ bis „+“, ein Minimum.
Tabelle der Derivate
Die Kernformeln – die gleichen, die in der obigen Aufschlüsselung verwendet wurden. C ist eine Konstante, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Differenzierungsregeln
Die Ableitung einer Summe entspricht der Summe der Ableitungen: (u + v)′ = u′ + v′. Ein konstanter Faktor wird außerhalb genommen: (C·u)′ = C·u′.
Produktregel: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Quotientenregel: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Die Kettenregel für eine zusammengesetzte Funktion: Differenzieren Sie zuerst die äußere Funktion und multiplizieren Sie dann mit der Ableitung der inneren Funktion. Zum Beispiel: (sin 2x)′ = cos(2x)·2.