Stammfunktion – mit einer detaillierten Aufschlüsselung aller Schritte und einem Diagramm
Funktion f(x)
Stammfunktion
Die Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung das Original zurückgibt: F′(x) = f(x). Zu einer Stammfunktion kann jede Konstante C addiert werden, weshalb sie immer geschrieben wird.
Wie es berechnet wurde – Schritt für Schritt
Jeder Schritt benennt die verwendete Technik und zeigt die Substitution an, sodass die Lösung in Ihr Notizbuch kopiert werden kann.
Graph der Funktion und ihrer Stammfunktion
Die blaue Kurve ist die Funktion f(x), die orange ist die Stammfunktion F(x). Überprüfen Sie den Link: Wenn f(x) positiv ist, nimmt die Stammfunktion zu; wo f(x) negativ ist, nimmt es ab; wobei f(x) = 0 die Stammfunktion einen Gipfel oder ein Tal hat. Dies ist genau die umgekehrte Beziehung zur Ableitung.
Tabelle der Stammfunktionen
Die Kernformeln. C ist eine beliebige Konstante. Jede Zeile ist leicht zu überprüfen: Unterscheiden Sie die rechte Spalte und Sie erhalten die linke.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Bestimmtes Integral – die Fläche unter dem Graphen → · Die Umkehroperation – die Ableitung →
📚 Theorie: Integrationstechniken
Integration ist die zur Differentiation umgekehrte Operation. Eine Stammfunktion F für f zu finden bedeutet, eine Funktion auszuwählen, deren Ableitung gleich f ist. Die Prüfung ist immer die gleiche: Differenzieren Sie die Antwort.
Linearität: Das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale, ein konstanter Faktor wird außerhalb genommen. Lineare Substitution: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k – wenn ein linearer Ausdruck unter dem Integral anstelle von x steht.
Partielle Integration: ∫u dv = u·v − ∫v du. Es wird auf Produkte wie x·eˣ oder x·sin x angewendet. Nicht jedes Integral kann durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden – zum Beispiel hat ∫e^(−x²) dx keine geschlossene Formel, und das ist normal.