Bestimmtes Integral – die Fläche unter dem Graphen mit der Newton-Leibniz-Formel
Funktion f(x)
Wert des Integrals
Das bestimmte Integral ∫ f(x) dx von a nach b ist die Fläche zwischen dem Graphen und der X-Achse über das Intervall [a; B]. Teile unterhalb der Achse werden mit einem Minuszeichen gezählt.
Die Newton-Leibniz-Formel
Die Hauptformel der Integralrechnung verknüpft das bestimmte Integral mit der Stammfunktion: ∫ f(x) dx von a nach b = F(b) − F(a), wobei F eine beliebige Stammfunktion von f ist. So kann die Fläche ohne Summen und Grenzen ermittelt werden: Nehmen Sie einfach die Stammfunktion und ersetzen Sie die Grenzen.
So finden Sie die Stammfunktion F(x) – Schritt für Schritt →
📚 Theorie: Was ein Integral ist
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist die Fläche der Figur zwischen dem Graphen von f(x) und der X-Achse über das Intervall von a bis b. Stellen Sie sich die Figur vor, die in Tausende von schmalen vertikalen Streifen geschnitten ist: Die Fläche jedes Streifens ist ≈ f(x)·(Breite), und das Integral ist die Summe aller Streifen, wenn die Scheiben unendlich dünn werden.
Physikalische Bedeutung: Wenn f(x) die Geschwindigkeit ist, ist das Integral die zurückgelegte Gesamtstrecke; Wenn f(x) eine Leistung ist, ist das Integral die Energie. Das Integral akkumuliert eine Größe, deren Rate durch den Integranden gegeben ist.
Das Vorzeichen der Fläche: Teile des Diagramms unterhalb der X-Achse tragen negativ bei. Deshalb ist beispielsweise ∫ sin x dx über eine ganze Periode gleich Null: Die Fläche darüber hebt die Fläche darunter auf.