Derivada: con un desglose detallado de cada paso y un gráfico
Función f(x)
Derivado
Cómo se calculó: paso a paso
Cada paso nombra la regla que se aplicó y muestra lo que se sustituyó, para que la solución se pueda copiar en su cuaderno.
Gráfica de la función y su derivada.
La curva azul es la función f(x), la naranja es la derivada f′(x). Fondo verde: f′(x) > 0 y la función es creciente. Fondo rojo: f′(x) < 0 y la función es decreciente. Los puntos donde la derivada es igual a cero están marcados en el gráfico: estos son los extremos (picos y valles).
Qué es una derivada: tres significados
Significado geométrico
La derivada f′(x₀) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto x₀, es decir, la tangente de su ángulo de inclinación. Una derivada grande significa un ascenso pronunciado, una negativa significa un descenso, cero significa que la tangente es horizontal (un pico o un valle). Es exactamente por eso que el signo de la derivada te indica si la función es creciente o decreciente.
Significado físico
Si una función describe la posición de un cuerpo en función del tiempo s(t), entonces la derivada s′(t) es la velocidad instantánea, y la segunda derivada s″(t) es la aceleración. En general, la derivada es la tasa de cambio de una cantidad: qué tan rápido cambia y cuando cambia x. Éste es el significado original por el cual Newton introdujo la derivada.
Significado algebraico
Formalmente, la derivada es el límite de la relación de incrementos: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h cuando h → 0. Damos un pequeño paso h, vemos cuánto cambió la función y lo dividimos por la longitud del paso. A medida que el paso se acerca a cero, la relación se acerca a la tasa exacta de cambio en el punto.
La derivada y los extremos.
En los puntos máximo y mínimo la tangente es horizontal, por lo que la derivada allí es igual a cero. Esta es la técnica principal para encontrar valores más grandes y más pequeños: establezca la derivada en cero y encuentre las raíces. Si al pasar por dicho punto la derivada cambia de signo de “+” a “-”, es un máximo; de “-” a “+”, como mínimo.
Tabla de derivadas
Las fórmulas básicas: las mismas que se utilizan en el desglose anterior. C es una constante, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Reglas de diferenciación
La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas: (u + v)′ = u′ + v′. Se saca un factor constante afuera: (C·u)′ = C·u′.
Regla del producto: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Regla del cociente: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
La regla de la cadena para una función compuesta: primero diferenciar la función externa, luego multiplicar por la derivada de la interna. Por ejemplo, (sen 2x)′ = cos(2x)·2.