Antiderivada: con un desglose detallado de cada paso y un gráfico
Función f(x)
Antiderivada
La antiderivada F(x) es una función cuya derivada devuelve el original: F′(x) = f(x). Cualquier constante C se puede sumar a una primitiva, por eso siempre se escribe.
Cómo se calculó: paso a paso
Cada paso nombra la técnica utilizada y muestra la sustitución, para que puedas copiar la solución en tu cuaderno.
Gráfica de la función y su antiderivada.
La curva azul es la función f(x), la naranja es la antiderivada F(x). Consulte el enlace: donde f(x) es positivo, la antiderivada aumenta; donde f(x) es negativo disminuye; donde f(x) = 0 la antiderivada tiene un pico o un valle. Ésta es exactamente la relación inversa en comparación con la derivada.
Tabla de antiderivadas
Las fórmulas centrales. C es una constante arbitraria. Cualquier fila es fácil de verificar: diferencia la columna de la derecha y obtendrás la de la izquierda.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Integral definida: el área bajo la gráfica → · La operación inversa — la derivada →
📚 Teoría: técnicas de integración.
La integración es la operación inversa a la diferenciación. Encontrar una antiderivada F para f significa elegir una función cuya derivada sea igual a f. La comprobación es siempre la misma: diferenciar la respuesta.
Linealidad: la integral de una suma es igual a la suma de integrales, se toma fuera un factor constante. Sustitución lineal: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — cuando una expresión lineal se encuentra debajo de la integral en lugar de x.
Integración por partes: ∫u dv = u·v − ∫v du. Se aplica a productos como x·eˣ o x·sin x. No todas las integrales se pueden expresar mediante funciones elementales; por ejemplo, ∫e^(−x²) dx no tiene fórmula cerrada, y eso es normal.