Integral definida: el área bajo la gráfica con la fórmula de Newton-Leibniz
Función f(x)
Valor de la integral
La integral definida ∫ f(x) dx de aab es el área entre la gráfica y el eje X en el intervalo [a; b]. Las partes debajo del eje se cuentan con un signo menos.
La fórmula de Newton-Leibniz
La fórmula principal del cálculo integral vincula la integral definida con la antiderivada: ∫ f(x) dx de a a b = F(b) − F(a), donde F es cualquier antiderivada de f. Entonces el área se puede encontrar sin sumas ni límites: simplemente toma la antiderivada y sustituye los límites.
📚 Teoría: que es una integral
La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx es el área de la figura entre la gráfica de f(x) y el eje X en el intervalo de a a b. Imagine la figura cortada en miles de franjas verticales estrechas: el área de cada una ≈ f(x)·(ancho), y la integral es la suma de todas las franjas a medida que el corte se vuelve infinitamente delgado.
Significado físico: si f(x) es la velocidad, la integral es la distancia total recorrida; si f(x) es potencia, la integral es energía. La integral acumula una cantidad cuya tasa está dada por el integrando.
El signo del área: las partes del gráfico debajo del eje X contribuyen negativamente. Por eso, por ejemplo, ∫ sen x dx durante un período completo es igual a cero: el área de arriba cancela el área de abajo.