مشتق - با تفکیک دقیق هر مرحله و یک نمودار

منحنی آبی تابع f(x) و منحنی نارنجی مشتق f'(x) است. پس زمینه سبز: f′(x) > 0 و تابع در حال افزایش است. پس زمینه قرمز: f′(x) < 0 و تابع در حال کاهش است. نقاطی که مشتق برابر با صفر است، در نمودار مشخص شده‌اند - این نقاط انتهایی (قله‌ها و دره‌ها) هستند.

معنای هندسی

مشتق f′(x₀) شیب خط مماس به نمودار در نقطه x₀ است، یعنی مماس زاویه میل آن. مشتق بزرگ به معنای افزایش تند، منفی به معنای فرود، صفر به معنای افقی بودن مماس است (قله یا دره). دقیقاً به همین دلیل است که علامت مشتق به شما می گوید که آیا تابع در حال افزایش یا کاهش است.

معنای فیزیکی

اگر تابعی موقعیت یک جسم را تابعی از زمان s(t) توصیف کند، مشتق s′(t) سرعت آنی است و مشتق دوم s″(t) شتاب است. به طور کلی مشتق نرخ تغییر یک کمیت است: با چه سرعتی y با تغییر x تغییر می کند. این همان معنای اصلی است که نیوتن مشتق را برای آن معرفی کرد.

معنی جبری

به طور رسمی مشتق محدوده نسبت افزایش ها است: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h به صورت h → 0. یک گام کوچک h برمی داریم، می بینیم که تابع چقدر تغییر کرده و بر طول مرحله تقسیم می کنیم. با نزدیک شدن پله به صفر، نسبت به نرخ دقیق تغییر در نقطه نزدیک می شود.

مشتق و افراط

در نقاط حداکثر و حداقل مماس افقی است، بنابراین مشتق در آنجا برابر با صفر است. این تکنیک اصلی برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر است: مشتق را صفر کنید و ریشه ها را پیدا کنید. اگر هنگام عبور از چنین نقطه ای، مشتق علامت "+" را به "-" تغییر دهد، حداکثر است. از "-" تا "+"، حداقل.

فرمول های اصلی - همان فرمول های مورد استفاده در تفکیک بالا. C یک ثابت است، a > 0.

عملیات معکوس - ضد مشتقات و انتگرال ها →