ضد مشتق - با تفکیک دقیق هر مرحله و یک نمودار
تابع f(x)
ضد مشتق
ضد مشتق F(x) تابعی است که مشتق آن اصل را پس می دهد: F'(x) = f(x). هر ثابت C را می توان به یک ضد مشتق اضافه کرد، به همین دلیل است که همیشه نوشته می شود.
چگونه محاسبه شد - مرحله به مرحله
هر مرحله تکنیک مورد استفاده را نامگذاری می کند و جایگزینی را نشان می دهد، بنابراین راه حل را می توان در دفترچه یادداشت شما کپی کرد.
نمودار تابع و ضد مشتق آن
منحنی آبی تابع f(x) و منحنی نارنجی ضد مشتق F(x) است. پیوند را بررسی کنید: در جایی که f(x) مثبت است، ضد مشتق افزایش می یابد. در جایی که f(x) منفی است کاهش می یابد. که در آن f(x) = 0 ضد مشتق دارای یک قله یا یک دره است. این دقیقاً رابطه معکوس در مقایسه با مشتق است.
جدول آنتی مشتقات
فرمول های اصلی C یک ثابت دلخواه است. بررسی هر ردیفی آسان است: ستون سمت راست را متمایز کنید و ستون سمت چپ را دریافت کنید.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
📚 نظریه: تکنیک های یکپارچه سازی
ادغام عمل معکوس تمایز است. یافتن یک ضد مشتق F برای f به معنای انتخاب تابعی است که مشتق آن برابر با f باشد. چک همیشه یکسان است: پاسخ را متمایز کنید.
خطی بودن: انتگرال یک مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها، یک عامل ثابت خارج می شود. جایگزینی خطی: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k - وقتی یک عبارت خطی به جای x در زیر انتگرال قرار گیرد.
ادغام با قطعات: ∫u dv = u·v − ∫v du. برای محصولاتی مانند x·eˣ یا x·sin x اعمال می شود. هر انتگرال را نمی توان از طریق توابع ابتدایی بیان کرد - برای مثال، ∫e^(-x²) dx هیچ فرمول بسته ای ندارد، و این طبیعی است.