Dérivé - avec une ventilation détaillée de chaque étape et un graphique
Fonction f(x)
Dérivé
Comment cela a-t-il été calculé – étape par étape
Chaque étape nomme la règle qui a été appliquée et montre ce qui a été remplacé, afin que la solution puisse être copiée dans votre bloc-notes.
Graphique de la fonction et de sa dérivée
La courbe bleue est la fonction f(x), la courbe orange est la dérivée f′(x). Fond vert : f′(x) > 0 et la fonction est croissante. Fond rouge : f′(x) < 0 et la fonction est décroissante. Les points où la dérivée est égale à zéro sont marqués sur le graphique — ce sont les extrema (pics et vallées).
Qu'est-ce qu'un dérivé - trois significations
Signification géométrique
La dérivée f′(x₀) est la pente de la ligne tangente au graphique au point x₀, c'est-à-dire la tangente de son angle d'inclinaison. Une dérivée grande signifie une montée raide, une dérivée négative signifie une descente, zéro signifie que la tangente est horizontale (un sommet ou une vallée). C’est exactement pourquoi le signe de la dérivée vous indique si la fonction est croissante ou décroissante.
Signification physique
Si une fonction décrit la position d'un corps en fonction du temps s(t), alors la dérivée s′(t) est la vitesse instantanée et la dérivée seconde s″(t) est l'accélération. En général, la dérivée est le taux de variation d'une quantité : la vitesse à laquelle y change lorsque x change. C’est le sens originel pour lequel Newton a introduit la dérivée.
Signification algébrique
Formellement, la dérivée est la limite du rapport des incréments : f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h lorsque h → 0. Nous prenons un petit pas h, voyons à quel point la fonction a changé et divisons par la longueur du pas. À mesure que le pas se rapproche de zéro, le rapport se rapproche du taux de variation exact à ce point.
Le dérivé et les extrema
Aux points maximum et minimum, la tangente est horizontale, donc la dérivée y est égale à zéro. C'est la technique principale pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites : mettre la dérivée à zéro et trouver les racines. Si, en passant par un tel point, la dérivée change de signe de « + » à « - », c'est un maximum ; de « - » à « + », un minimum.
Tableau des dérivés
Les formules de base – les mêmes que celles utilisées dans la répartition ci-dessus. C est une constante, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Règles de différenciation
La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées : (u + v)′ = u′ + v′. Un facteur constant est pris à l'extérieur : (C·u)′ = C·u′.
Règle du produit : (u·v)′ = u′·v + u·v′. Règle du quotient : (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
La règle de chaîne pour une fonction composite : différenciez d'abord la fonction externe, puis multipliez par la dérivée de la fonction interne. Par exemple, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.