Primitive – avec une ventilation détaillée de chaque étape et un graphique
Fonction f(x)
Primitive
La primitive F(x) est une fonction dont la dérivée rend l'originale : F′(x) = f(x). Toute constante C peut être ajoutée à une primitive, c'est pourquoi elle est toujours écrite.
Comment cela a-t-il été calculé – étape par étape
Chaque étape nomme la technique utilisée et montre la substitution, afin que la solution puisse être copiée dans votre cahier.
Graphique de la fonction et de sa primitive
La courbe bleue est la fonction f(x), la courbe orange est la primitive F(x). Vérifiez le lien : où f(x) est positif, la primitive augmente ; où f(x) est négatif, il diminue ; où f(x) = 0, la primitive a un pic ou une vallée. C'est exactement la relation inverse par rapport à la dérivée.
Tableau des primitives
Les formules de base. C est une constante arbitraire. N'importe quelle ligne est facile à vérifier : différenciez la colonne de droite et vous obtenez celle de gauche.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Intégrale définie — l'aire sous le graphique → · L'opération inverse - la dérivée →
📚 Théorie : techniques d'intégration
L'intégration est l'opération inverse de la différenciation. Trouver une primitive F pour f signifie choisir une fonction dont la dérivée est égale à f. La vérification est toujours la même : différencier la réponse.
Linéarité : l'intégrale d'une somme est égale à la somme des intégrales, un facteur constant est pris à l'extérieur. Substitution linéaire : ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — lorsqu'une expression linéaire se trouve sous l'intégrale au lieu de x.
Intégration par parties : ∫u dv = u·v − ∫v du. Il s'applique à des produits comme x·eˣ ou x·sin x. Toutes les intégrales ne peuvent pas être exprimées par des fonctions élémentaires — par exemple, ∫e^(−x²) dx n'a pas de formule fermée, et c'est normal.