Intégrale définie - l'aire sous le graphique avec la formule de Newton – Leibniz
Fonction f(x)
Valeur de l'intégrale
L'intégrale définie ∫ f(x) dx de a à b est l'aire entre le graphique et l'axe X sur l'intervalle [a; b]. Les pièces situées en dessous de l'axe sont comptées avec un signe moins.
La formule de Newton-Leibniz
La formule principale du calcul intégral relie l'intégrale définie à la primitive : ∫ f(x) dx de a à b = F(b) − F(a), où F est toute primitive de f. L'aire peut donc être trouvée sans sommes ni limites : il suffit de prendre la primitive et de substituer les limites.
📚 Théorie : qu'est-ce qu'une intégrale
L'intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire de la figure entre le graphique de f(x) et l'axe X sur l'intervalle de a à b. Imaginez la figure découpée en milliers de bandes verticales étroites : l'aire de chacune ≈ f(x)·(largeur), et l'intégrale est la somme de toutes les bandes à mesure que le découpage devient infiniment fin.
Signification physique : si f(x) est la vitesse, l'intégrale est la distance totale parcourue ; si f(x) est la puissance, l'intégrale est l'énergie. L'intégrale accumule une quantité dont le taux est donné par l'intégrande.
Le signe de la zone : les parties du graphique situées sous l'axe X contribuent négativement. C'est pourquoi, par exemple, ∫ sin x dx sur une période complète est égal à zéro : l'aire du dessus annule l'aire du dessous.