Izvedeno — s detaljnom raščlambom svakog koraka i grafikonom
Funkcija f(x)
Izvedenica
Kako je izračunato — korak po korak
Svaki korak imenuje pravilo koje je primijenjeno i pokazuje što je zamijenjeno, tako da se rješenje može kopirati u vašu bilježnicu.
Graf funkcije i njezina derivacija
Plava krivulja je funkcija f(x), narančasta je derivacija f′(x). Zelena pozadina: f′(x) > 0 i funkcija raste. Crvena pozadina: f′(x) < 0 i funkcija je opadajuća. Točke u kojima je derivacija jednaka nuli označene su na grafikonu — to su ekstremi (vrhovi i doline).
Što je izvedenica — tri značenja
Geometrijsko značenje
Derivacija f′(x₀) je nagib tangente na graf u točki x₀, odnosno tangens njegovog kuta nagiba. Velika derivacija znači strmi uspon, negativna znači spuštanje, nula znači da je tangenta horizontalna (vrh ili dolina). Upravo zato predznak derivacije govori je li funkcija rastuća ili padajuća.
Fizičko značenje
Ako funkcija opisuje položaj tijela kao funkciju vremena s(t), tada je derivacija s′(t) trenutna brzina, a druga derivacija s″(t) je ubrzanje. Općenito, derivacija je brzina promjene veličine: koliko se brzo y mijenja kako se x mijenja. Ovo je izvorno značenje za koje je Newton uveo izvedenicu.
Algebarsko značenje
Formalno, derivacija je granica omjera inkremenata: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h kao h → 0. Napravimo mali korak h, vidimo koliko se funkcija promijenila i podijelimo s duljinom koraka. Kako se korak približava nuli, omjer se približava točnoj stopi promjene u točki.
Derivacija i ekstremi
U maksimalnim i minimalnim točkama tangenta je horizontalna, tako da je derivacija tamo jednaka nuli. Ovo je glavna tehnika za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti: derivaciju postavite na nulu i pronađite korijene. Ako pri prolasku kroz takvu točku derivacija promijeni predznak iz “+” u “−”, to je maksimum; od “-” do “+”, minimum.
Tablica izvedenica
Osnovne formule — iste one korištene u gornjoj raščlambi. C je konstanta, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Pravila razlikovanja
Derivacija zbroja jednaka je zbroju derivacija: (u + v)′ = u′ + v′. Konstantni faktor se uzima izvan: (C·u)′ = C·u′.
Pravilo proizvoda: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Pravilo kvocijenta: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Pravilo lanca za kompozitnu funkciju: prvo diferencirajte vanjsku funkciju, a zatim pomnožite s izvodom unutarnje. Na primjer, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.