Antiderivacija — s detaljnim pregledom svakog koraka i grafikonom
Funkcija f(x)
Antiderivacija
Antiderivacija F(x) je funkcija čija derivacija vraća izvornu: F′(x) = f(x). Bilo koja konstanta C može se dodati antiderivatu, zbog čega se uvijek piše.
Kako je izračunato — korak po korak
Svaki korak imenuje korištenu tehniku i prikazuje zamjenu, tako da se rješenje može kopirati u vašu bilježnicu.
Graf funkcije i njezina antiderivacija
Plava krivulja je funkcija f(x), narančasta je antiderivacija F(x). Provjerite poveznicu: gdje je f(x) pozitivan antiderivacija raste; gdje je f(x) negativan, smanjuje se; gdje je f(x) = 0 antiderivacija ima vrh ili dolinu. To je upravo obrnuti odnos u usporedbi s izvodom.
Tablica antiderivata
Osnovne formule. C je proizvoljna konstanta. Bilo koji red lako je provjeriti: razlikujete desni stupac i dobit ćete lijevi.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Određeni integral — površina ispod grafa → · Inverzna operacija — izvod →
📚 Teorija: tehnike integracije
Integracija je operacija inverzna diferencijaciji. Pronaći antiderivaciju F za f znači odabrati funkciju čija je derivacija jednaka f. Provjera je uvijek ista: razlikovanje odgovora.
Linearnost: integral zbroja jednak je zbroju integrala, a konstantni faktor je izuzet. Linearna supstitucija: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — kada linearni izraz stoji ispod integrala umjesto x.
Integracija po dijelovima: ∫u dv = u·v − ∫v du. Primjenjuje se na proizvode kao što su x·eˣ ili x·sin x. Ne može se svaki integral izraziti kroz elementarne funkcije — na primjer, ∫e^(−x²) dx nema zatvorenu formulu, i to je normalno.