Određeni integral — površina ispod grafa s Newton–Leibnizovom formulom
Funkcija f(x)
Vrijednost integrala
Određeni integral ∫ f(x) dx od a do b je površina između grafa i X osi na intervalu [a; b]. Dijelovi ispod osi broje se s predznakom minus.
Newton–Leibnizova formula
Glavna formula integralnog računa povezuje definitivni integral s antiderivacijom: ∫ f(x) dx od a do b = F(b) − F(a), gdje je F bilo koja antiderivacija od f. Dakle, područje se može pronaći bez zbrojeva i granica: samo uzmite antiderivaciju i zamijenite granice.
📚 Teorija: što je integral
Određeni integral ∫ₐᵇ f(x) dx je površina figure između grafa f(x) i X osi preko intervala od a do b. Zamislite lik razrezan na tisuće uskih okomitih traka: površina svake ≈ f(x)·(širina), a integral je zbroj svih traka jer rezanje postaje beskonačno tanko.
Fizičko značenje: ako je f(x) brzina, integral je ukupna prijeđena udaljenost; ako je f(x) snaga, integral je energija. Integral akumulira količinu čija je brzina dana integrandom.
Znak područja: dijelovi grafikona ispod X osi doprinose negativno. Zato je, na primjer, ∫ sin x dx tijekom cijelog perioda jednak nuli: površina iznad poništava površinu ispod.