Եռանկյունաչափություն - քայլ առ քայլ բացատրված աղյուսակներ, բանաձևեր և հավասարումներ
Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարում
Ընտրեք ֆունկցիա և մուտքագրեք աջ կողմում՝ արմատների ընդհանուր բանաձևը և այն ստացվածի բացատրությունը ստանալու համար: Պատասխանը գրված է այնպես, ինչպես ուսուցիչն է սպասում՝ n ∈ ℤ-ով:
Ինչպես լուծվեց՝ քայլ առ քայլ
Գրաֆիկի վրա. ինչու կան անսահման շատ արմատներ
Նարնջագույն y = a գիծը հատում է ալիքը լուծման կետերում: Սինուսը և կոսինուսը կրկնվում են յուրաքանչյուր 2π (սա ժամանակաշրջան է), այնպես որ խաչմերուկները կազմում են անսահման շղթա. յուրաքանչյուր կետ ավելացնում է նույն արմատները: Այստեղից է գալիս պատասխանի «+ 2πn» կամ «+ πn»:
Միավոր շրջանակի վրա
Անկյունը չափվում է cos առանցքից՝ հակառակ ուղղությամբ։ Անկյան կոսինուսը կետի հորիզոնական կոորդինատն է, սինուսը՝ ուղղահայացը։ Sin x = a լուծումներն այն կետերն են, որոնց բարձրությունը հավասար է a (հորիզոնական գիծ), իսկ cos x = a-ն այն կետերն են, որոնք ունեն անհրաժեշտ հորիզոնական կոորդինատ (ուղղահայաց գիծ): Սովորաբար շրջանագծի վրա լինում են երկու այդպիսի կետեր, հետևաբար՝ յուրաքանչյուր հեղափոխության երկու արմատ:
Ֆունկցիայի արժեքները անկյունի համար
Մուտքագրեք անկյունը աստիճաններով (օրինակ՝ 60) կամ ռադիաններով (օրինակ՝ π/3 կամ պի/3), որպեսզի ստանաք sin, cos, tan և cot: Աղյուսակային անկյունների համար պատասխանը ճշգրիտ է, հակառակ դեպքում այն կլորացվում է մինչև 6 նիշ:
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Հակադարձ գործառույթներ
arcsin, arccos, arctan և arccot անկյունը վերադարձնում են ֆունկցիայի արժեքից՝ հիմնական արժեքից, աստիճաններով և ռադիաններով: arcsin-ը և arccos-ը սահմանվում են միայն −1-ից մինչև 1 արժեքների համար:
Արժեքների աղյուսակ
Հիմնական անկյունների արժեքները, որոնց մասին ամենից հաճախ հարցնում են: Գծը նշանակում է, որ գործառույթն այդ կետում սահմանված չէ:
| Աստիճաններ | Ռադիաններ | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Հիմնական բանաձևեր
Ինքնություններ
| sin²x + cos²x = 1 | հիմնարար ինքնությունը |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Փաստարկների գումարը
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Կրկնակի և կես անկյուն
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Կրճատման բանաձևեր
Կանոն. π/2 և 3π/2 համար ֆունկցիան անցնում է իր համատեղ ֆունկցիայի (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π-ի և 2π-ի համար այն մնում է նույնը: Նշանը վերցված է այն քառորդից, որում ընկած է սկզբնական անկյունը:
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Տեսություն. ինչպես լուծել հիմնական հավասարումները
Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումը sin x = a, cos x = a կամ tan x = a ձևի հավասարությունն է: Լուծել այն նշանակում է գտնել բոլոր անկյունները, որոնց դեպքում ֆունկցիան հավասար է a. Նման անկյունները անսահման շատ են՝ ֆունկցիաները պարբերական են, ուստի պատասխանը գրվում է որպես ընդհանուր բանաձև՝ n ամբողջ պարամետրով։
Սինուսի պարբերությունը 2π է, բայց պարբերաշրջանում նրա արմատները սիմետրիկ են π/2-ի նկատմամբ, այդ իսկ պատճառով բանաձևը պարունակում է (−1)ⁿ գործակիցը և πn պարբերությունը։ Կոսինուսի արմատները սիմետրիկ են զրոյի մոտ, հետևաբար ± նշանը: Շոշափողն ունի π կետ և ամենապարզ բանաձևը:
Հատուկ դեպքեր sin x = 0, ±1 և cos x = 0, ±1 հիշվում են առանձին: Ընդհանուր բանաձևը նույնպես աշխատում է նրանց համար, բայց այն ծավալուն է, և կարճ ձևը խնայում է ժամանակը քննության ժամանակ:
Եթե |ա| > 1, սինուսի կամ կոսինուսի հետ հավասարումը լուծումներ չունի. այս ֆունկցիաները երբեք չեն հեռանում −1-ից 1 միջակայքից: Շոշափողն ու կոտանգենսը նման սահմանափակում չունեն. նրանք ընդունում են որևէ արժեք: