Derivatif — dengan rincian rinci setiap langkah dan grafik
Fungsi f(x)
Turunan
Cara menghitungnya — langkah demi langkah
Setiap langkah menyebutkan aturan yang diterapkan dan memperlihatkan apa yang diganti, sehingga solusinya dapat disalin ke dalam buku catatan Anda.
Grafik fungsi dan turunannya
Kurva biru adalah fungsi f(x), kurva oranye adalah turunan f′(x). Latar belakang hijau: f′(x) > 0 dan fungsinya meningkat. Latar belakang merah: f′(x) < 0 dan fungsinya menurun. Titik-titik dimana turunannya sama dengan nol ditandai pada grafik — ini adalah titik ekstrem (puncak dan lembah).
Apa itu turunan — tiga arti
Arti geometris
Turunan f′(x₀) adalah kemiringan garis singgung grafik di titik x₀, yaitu garis singgung sudut kemiringannya. Turunan yang besar berarti tanjakan yang curam, turunan negatif berarti turunan, nol berarti garis singgungnya mendatar (puncak atau lembah). Itulah sebabnya tanda turunannya memberi tahu Anda apakah suatu fungsi naik atau turun.
Arti fisik
Jika suatu fungsi menggambarkan posisi suatu benda sebagai fungsi waktu s(t), maka turunan s′(t) adalah kecepatan sesaat, dan turunan keduanya s″(t) adalah percepatan. Secara umum turunan adalah laju perubahan suatu besaran: seberapa cepat y berubah seiring perubahan x. Inilah arti asli yang digunakan Newton untuk memperkenalkan turunannya.
Arti aljabar
Secara formal turunannya adalah batas rasio pertambahan: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h sebagai h → 0. Kita ambil langkah kecil h, lihat seberapa besar perubahan fungsinya, dan bagi dengan panjang langkah. Ketika langkahnya mendekati nol, rasionya mendekati laju perubahan yang tepat pada titik tersebut.
Turunan dan ekstrem
Pada titik maksimum dan minimum garis singgungnya mendatar, sehingga turunannya sama dengan nol. Ini adalah teknik utama untuk mencari nilai terbesar dan terkecil: atur turunannya ke nol dan temukan akar-akarnya. Jika, ketika melewati titik tersebut, turunannya berubah tanda dari “+” menjadi “−”, maka itu adalah maksimum; dari “−” hingga “+”, minimum.
Tabel turunan
Rumus inti — sama dengan yang digunakan pada uraian di atas. C adalah konstanta, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Aturan diferensiasi
turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya: (u + v)′ = u′ + v′. Faktor konstanta diambil ke luar: (C·u)′ = C·u′.
Aturan perkalian: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Aturan rantai untuk fungsi gabungan: diferensiasikan dulu fungsi luarnya, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam. Misalnya, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.