Antiturunan — dengan rincian rinci setiap langkah dan grafik
Fungsi f(x)
Antiturunan
Antiturunan F(x) adalah fungsi yang turunannya mengembalikan fungsi asli: F′(x) = f(x). Konstanta C apa pun dapat ditambahkan ke antiturunan, itulah sebabnya konstanta tersebut selalu ditulis.
Cara menghitungnya — langkah demi langkah
Setiap langkah menyebutkan teknik yang digunakan dan menunjukkan substitusinya, sehingga solusinya dapat disalin ke dalam buku catatan Anda.
Grafik fungsi dan antiturunannya
Kurva biru adalah fungsi f(x), kurva oranye adalah antiturunan F(x). Periksa tautannya: jika f(x) positif maka antiturunannya meningkat; dimana f(x) negatif maka f(x) berkurang; dimana f(x) = 0 antiturunannya mempunyai puncak atau lembah. Ini justru merupakan hubungan terbalik dibandingkan dengan turunannya.
Tabel antiturunan
Rumus inti. C adalah konstanta sembarang. Setiap baris mudah diverifikasi: bedakan kolom kanan dan Anda mendapatkan kolom kiri.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Integral pasti — luas di bawah grafik → · Operasi kebalikannya — turunan →
📚 Teori: teknik integrasi
Integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi. Mencari antiturunan F untuk f berarti memilih fungsi yang turunannya sama dengan f. Ceknya selalu sama: bedakan jawabannya.
Linearitas: integral suatu penjumlahan sama dengan jumlah integral, faktor konstanta dikeluarkan. Substitusi linier: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — ketika ekspresi linier berada di bawah integral, bukan x.
Integrasi berdasarkan bagian: ∫u dv = u·v − ∫v du. Ini diterapkan pada produk seperti x·eˣ atau x·sin x. Tidak semua integral dapat dinyatakan melalui fungsi dasar — misalnya, ∫e^(−x²) dx tidak memiliki rumus tertutup, dan hal ini normal.