Derivata: con una ripartizione dettagliata di ogni passaggio e un grafico
Funzione f(x)
Derivato
Come è stato calcolato: passo dopo passo
Ogni passaggio nomina la regola applicata e mostra cosa è stato sostituito, in modo che la soluzione possa essere copiata nel tuo taccuino.
Grafico della funzione e sua derivata
La curva blu è la funzione f(x), quella arancione è la derivata f′(x). Sfondo verde: f′(x) > 0 e la funzione è crescente. Sfondo rosso: f′(x) < 0 e la funzione è decrescente. I punti in cui la derivata è uguale a zero sono contrassegnati sul grafico: questi sono gli estremi (picchi e valli).
Cos'è un derivato: tre significati
Significato geometrico
La derivata f′(x₀) è la pendenza della linea tangente al grafico nel punto x₀, cioè la tangente del suo angolo di inclinazione. Una derivata grande significa una forte salita, una negativa significa una discesa, zero significa che la tangente è orizzontale (un picco o una valle). Questo è esattamente il motivo per cui il segno della derivata ti dice se la funzione è crescente o decrescente.
Significato fisico
Se una funzione descrive la posizione di un corpo in funzione del tempo s(t), allora la derivata s′(t) è la velocità istantanea e la derivata seconda s″(t) è l'accelerazione. In generale la derivata è il tasso di variazione di una quantità: quanto velocemente cambia y al variare di x. Questo è il significato originale per cui Newton introdusse la derivata.
Significato algebrico
Formalmente la derivata è il limite del rapporto degli incrementi: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h come h → 0. Facciamo un piccolo passo h, vediamo quanto è cambiata la funzione e dividiamo per la lunghezza del passo. Quando il passo si avvicina allo zero, il rapporto si avvicina al tasso esatto di variazione in quel punto.
La derivata e gli estremi
Nei punti massimo e minimo la tangente è orizzontale, quindi la derivata lì è uguale a zero. Questa è la tecnica principale per trovare i valori più grandi e più piccoli: imposta la derivata su zero e trova le radici. Se, passando per tale punto, la derivata cambia segno da “+” a “−”, è un massimo; da “-” a “+”, il minimo.
Tavola dei derivati
Le formule fondamentali: le stesse utilizzate nella ripartizione sopra. C è una costante, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Regole di differenziazione
La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate: (u + v)′ = u′ + v′. Si prenda fuori un fattore costante: (C·u)′ = C·u′.
Regola del prodotto: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
La regola della catena per una funzione composta: differenziare prima la funzione esterna, quindi moltiplicare per la derivata di quella interna. Ad esempio, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.