Antiderivativa: con una suddivisione dettagliata di ogni passaggio e un grafico
Funzione f(x)
Antiderivativo
L'antiderivativa F(x) è una funzione la cui derivata restituisce l'originale: F′(x) = f(x). Qualsiasi costante C può essere aggiunta a una primitiva, motivo per cui viene sempre scritta.
Come è stato calcolato: passo dopo passo
Ogni passaggio nomina la tecnica utilizzata e mostra la sostituzione, quindi la soluzione può essere copiata sul tuo quaderno.
Grafico della funzione e della sua primitiva
La curva blu è la funzione f(x), quella arancione è la primitiva F(x). Controlla il collegamento: dove f(x) è positivo l'antiderivativa aumenta; dove f(x) è negativo diminuisce; dove f(x) = 0 l'antiderivativa ha un picco o una valle. Questa è esattamente la relazione inversa rispetto alla derivata.
Tabella degli antiderivativi
Le formule fondamentali. C è una costante arbitraria. Qualsiasi riga è facile da verificare: differenzia la colonna di destra e ottieni quella di sinistra.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Integrale definito: l'area sotto il grafico → · L'operazione inversa — la derivata →
📚 Teoria: tecniche di integrazione
L'integrazione è l'operazione inversa alla differenziazione. Trovare una antiderivativa F per f significa scegliere una funzione la cui derivata è uguale a f. La verifica è sempre la stessa: differenziare la risposta.
Linearità: l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali, viene preso fuori un fattore costante. Sostituzione lineare: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — quando un'espressione lineare si trova sotto l'integrale invece di x.
Integrazione per parti: ∫u dv = u·v − ∫v du. Si applica a prodotti come x·eˣ o x·sin x. Non tutti gli integrali possono essere espressi tramite funzioni elementari: ad esempio, ∫e^(−x²) dx non ha una formula chiusa, e questo è normale.