Integrale definito: l'area sotto il grafico con la formula di Newton-Leibniz
Funzione f(x)
Valore dell'integrale
L'integrale definito ∫ f(x) dx da a a b è l'area compresa tra il grafico e l'asse X nell'intervallo [a; B]. Le parti sotto l'asse vengono contate con un segno meno.
La formula di Newton-Leibniz
La formula principale del calcolo integrale collega l'integrale definito con l'antiderivativa: ∫ f(x) dx da a a b = F(b) − F(a), dove F è una qualsiasi antiderivativa di f. Quindi l'area può essere trovata senza somme e limiti: basta prendere l'antiderivativa e sostituire i limiti.
📚 Teoria: cos'è un integrale
L'integrale definito ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area della figura compresa tra il grafico di f(x) e l'asse X nell'intervallo da a a b. Immagina la figura tagliata in migliaia di strette strisce verticali: l'area di ciascuna ≈ f(x)·(larghezza) e l'integrale è la somma di tutte le strisce mentre la fetta diventa infinitamente sottile.
Significato fisico: se f(x) è la velocità, l'integrale è la distanza totale percorsa; se f(x) è la potenza, l'integrale è l'energia. L'integrale accumula una quantità il cui tasso è dato dall'integrando.
Il segno dell'area: le parti del grafico sotto l'asse X contribuiscono negativamente. Ecco perché, ad esempio, ∫ sin x dx su un periodo intero è uguale a zero: l'area sopra cancella l'area sotto.