定積分 — ニュートン・ライプニッツの公式を使用したグラフの下の面積
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関数 f(x)
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積分の値
a から b までの定積分 ∫ f(x) dx は、区間 [a; b]。軸より下の部分はマイナス記号でカウントされます。
ニュートン・ライプニッツの公式
積分計算の主な公式は、定積分と原始関数を結び付けます: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)（Fはfの原始関数）。これにより、微小区間の総和を求めずに、原始関数に積分区間の値を代入するだけで面積を計算できます。
📚 理論: 積分とは何か
定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までの区間における f(x) のグラフと X 軸との間の図形の面積です。図形が何千もの狭い垂直ストリップにスライスされたと想像してください。各ストリップの面積 ≈ f(x) · (幅) であり、スライスが無限に薄くなるにつれて、積分はすべてのストリップの合計になります。
物理的意味: f(x) が速度の場合、積分は総移動距離です。 f(x) が電力の場合、積分はエネルギーです。積分は、被積分関数によって与えられる割合の量を累積します。
面積の符号: X 軸より下のグラフの部分はマイナスに寄与します。たとえば、全周期にわたる ∫ sin x dx がゼロに等しいのはこのためです。つまり、上の領域は下の領域を打ち消します。
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