逆微分 – 各ステップの詳細な内訳とグラフ付き

関数 f(x)

式に挿入：
試す：

反誘導体

逆導関数 F(x) は、その導関数が元の関数を返す関数です: F'(x) = f(x)。任意の定数 C を逆導関数に追加できるため、常に記述されます。

∫f(x) dx =
計算方法 - 段階的に

すべてのステップで使用されたテクニックの名前が示され、その代替方法が示されているため、ソリューションをノートブックにコピーできます。

関数とその逆導関数のグラフ

青い曲線は関数 f(x)、オレンジ色の曲線は逆微分 F(x) です。リンクを確認してください: f(x) が正の場合、反微分は増加します。 f(x) が負の場合、減少します。 f(x) = 0 の場合、逆微分には山または谷があります。これは、導関数と比較するとまさに逆の関係になります。

逆誘導体一覧表

核となる数式。 Cは任意の定数です。どの行も簡単に検証できます。右の列を区別すると、左の列が得られます。

f(x) ∫f(x) dx
0 C
1 x + C
xⁿ, n ≠ −1 xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
1/x ln|x| + C
eˣ eˣ + C
aˣ aˣ/ln a + C
sin x −cos x + C
cos x sin x + C
1/cos²x tg x + C
1/sin²x −ctg x + C
1/(1 + x²) arctg x + C
1/√(1 − x²) arcsin x + C

定積分 — グラフの下の領域 → · 逆演算 — 導関数 →

📚 理論: 統合テクニック

積分は微分の逆演算です。 f の逆導関数 F を見つけることは、導関数が f に等しい関数を選択することを意味します。チェックは常に同じです。答えを区別します。

線形性: 合計の積分は積分の合計に等しく、定数係数が外側に取り出されます。 線形置換: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — 一次式が x の代わりに積分の下に立つ場合。

部分による積分: ∫u dv = u·v − ∫v du。 x・eˣ や x・sin x などの積に適用されます。すべての積分が初等関数で表現できるわけではありません。たとえば、∫e^(−x²) dx には閉じた公式はありませんが、これは正常です。