微分 — 各ステップの詳細な内訳とグラフ付き
関数 f(x)
デリバティブ
計算方法 - 段階的に
すべてのステップで適用されたルールに名前が付けられ、何が置き換えられたかが表示されるため、ソリューションをノートブックにコピーできます。
関数とその導関数のグラフ
青い曲線は関数 f(x)、オレンジ色の曲線は導関数 f'(x) です。緑色の背景: f'(x) > 0 で関数は増加しています。赤い背景: f'(x) < 0 であり、関数は減少しています。導関数がゼロに等しい点がグラフ上にマークされています。これらは極値 (山と谷) です。
デリバティブとは何か — 3 つの意味
幾何学的な意味
導関数 f'(x₀) は点 x₀ におけるグラフの接線の傾き、つまり傾き角の接線です。大きな導関数は急上昇を意味し、負の微分は下降を意味し、ゼロは接線が水平 (山または谷) であることを意味します。微分関数の符号によって、関数が増加しているのか減少しているのかがわかるのはまさにこのためです。
物理的な意味
関数が物体の位置を時間 s(t) の関数として表す場合、導関数 s'(t) は瞬間速度、二次導関数 s''(t) は加速度となります。一般に微分値は量の変化率、つまり x の変化に応じて y がどれだけ速く変化するかを表します。これがニュートンが導関数を導入した本来の意味です。
代数的な意味
正式には、 導関数は増分比の極限です: f'(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h as h → 0. 小さなステップ h をとり、関数がどれだけ変化したかを確認し、ステップの長さで割ります。ステップがゼロに近づくと、比率はその点での正確な変化率に近づきます。
導関数と極値
最大点と最小点では接線は水平になるため、 そこの微分値はゼロになります。これは、最大値と最小値を見つけるための主な手法です。導関数をゼロに設定し、根を見つけます。そのような点を通過するときに導関数の符号が「+」から「-」に変わる場合、それは最大値です。最小値は「−」から「+」までです。
デリバティブ一覧表
中心となる式 — 上記の内訳で使用したものと同じです。 C は定数、a > 0 です。
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 微分の法則
合計の微分は、微分の合計と等しくなります: (u + v)' = u' + v'。定数因数が外部に取り出されます: (C・u)' = C・u'。
積則: (u·v)’ = u’·v + u·v’。 商ルール: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v²。
複合関数の連鎖規則: まず外側の関数を微分し、次に内側の関数の導関数を掛けます。たとえば、(sin 2x)' = cos(2x)・2 となります。