წარმოებული - ყოველი ნაბიჯის დეტალური განხილვით და გრაფიკით
ფუნქცია f(x)
წარმოებული
როგორ გამოითვალა - ეტაპობრივად
ყოველი ნაბიჯი ასახელებს წესს, რომელიც იქნა გამოყენებული და აჩვენებს, თუ რა იყო ჩანაცვლებული, ასე რომ გამოსავალი შეიძლება დაკოპირდეს თქვენს ნოუთბუქში.
ფუნქციის გრაფიკი და მისი წარმოებული
ლურჯი მრუდი არის ფუნქცია f(x), ნარინჯისფერი არის წარმოებული f′(x). მწვანე ფონი: f′(x) > 0 და ფუნქცია იზრდება. წითელი ფონი: f′(x) < 0 და ფუნქცია მცირდება. წერტილები, სადაც წარმოებული უდრის ნულს, მონიშნულია გრაფიკზე - ეს არის უკიდურესობები (მწვერვალები და ხეობები).
რა არის წარმოებული - სამი მნიშვნელობა
გეომეტრიული მნიშვნელობა
წარმოებული f′(x₀) არის ტანგენსი ხაზის დახრილობა გრაფიკის x₀ წერტილში, ანუ მისი დახრილობის კუთხის ტანგენსი. დიდი წარმოებული ნიშნავს ციცაბო აწევას, უარყოფითი ნიშნავს დაღმართს, ნული ნიშნავს ტანგენტს ჰორიზონტალურ (მწვერვალს ან ველს). სწორედ ამიტომ წარმოებულის ნიშანი გეუბნებათ, ფუნქცია იზრდება თუ მცირდება.
ფიზიკური მნიშვნელობა
თუ ფუნქცია აღწერს სხეულის პოზიციას დროის s(t) ფუნქციად, მაშინ წარმოებული s′(t) არის მყისიერი სიჩქარე, ხოლო მეორე წარმოებული s″(t) არის აჩქარება. ზოგადად წარმოებული არის სიდიდის ცვლილების სიჩქარე: რამდენად სწრაფად იცვლება y, როგორც x იცვლება. ეს არის ორიგინალური მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ნიუტონმა შემოიღო წარმოებული.
ალგებრული მნიშვნელობა
ფორმალურად წარმოებული არის ნამატების შეფარდების ლიმიტი: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h როგორც h → 0. ჩვენ ვდგამთ პატარა ნაბიჯს h, ვნახავთ რამდენად შეიცვალა ფუნქცია და ვყოფთ ნაბიჯის სიგრძეზე. როდესაც ნაბიჯი უახლოვდება ნულს, თანაფარდობა უახლოვდება ცვლილების ზუსტ სიჩქარეს წერტილში.
წარმოებული და ექსტრემა
მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებში ტანგენსი ჰორიზონტალურია, ამიტომ წარმოებული იქ უდრის ნულს. ეს არის ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის მთავარი ტექნიკა: დააყენეთ წარმოებული ნულზე და იპოვეთ ფესვები. თუ ასეთ წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს „+“-დან „−“-ზე, ეს არის მაქსიმუმი; "−"-დან "+", მინიმუმამდე.
წარმოებულების ცხრილი
ძირითადი ფორმულები - იგივე ფორმულები, რომლებიც გამოიყენება ზემოთ განხილვისას. C არის მუდმივი, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 დიფერენცირების წესები
ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს: (u + v)′ = u′ + v′. მუდმივი ფაქტორი აღებულია გარეთ: (C·u)′ = C·u′.
პროდუქტის წესი: (u·v)′ = u′v + uv′. რაოდენობის წესი: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
ჯაჭვის წესი კომპოზიტური ფუნქციისთვის: ჯერ განასხვავეთ გარე ფუნქცია, შემდეგ გაამრავლეთ შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. მაგალითად, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.