ანტიდერივატი - ყოველი ნაბიჯის დეტალური განხილვით და გრაფიკით
ფუნქცია f(x)
ანტიდერივატი
ანტიწარმოებული F(x) არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული აბრუნებს ორიგინალს: F′(x) = f(x). ნებისმიერი მუდმივი C შეიძლება დაემატოს ანტიწარმოებულს, რის გამოც იგი ყოველთვის იწერება.
როგორ გამოითვალა - ეტაპობრივად
ყოველი ნაბიჯი ასახელებს გამოყენებულ ტექნიკას და აჩვენებს ჩანაცვლებას, ასე რომ გამოსავალი შეიძლება დაკოპირდეს თქვენს ნოუთბუქში.
ფუნქციის გრაფიკი და მისი ანტიდერივატი
ლურჯი მრუდი არის ფუნქცია f(x), ნარინჯისფერი არის ანტიწარმოებული F(x). შეამოწმეთ ბმული: სადაც f(x) დადებითია, ანტიდერივატი იზრდება; სადაც f(x) უარყოფითია, ის მცირდება; სადაც f(x) = 0 ანტიწარმოებულს აქვს მწვერვალი ან ხეობა. ეს არის ზუსტად შებრუნებული ურთიერთობა წარმოებულთან შედარებით.
ანტიდერივატების ცხრილი
ძირითადი ფორმულები. C არის თვითნებური მუდმივი. ნებისმიერი მწკრივი ადვილი შესამოწმებელია: განასხვავეთ მარჯვენა სვეტი და მიიღებთ მარცხენას.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
განსაზღვრული ინტეგრალი — დიაგრამის ქვეშ არსებული ფართობი → · შებრუნებული ოპერაცია — წარმოებული →
📚 თეორია: ინტეგრაციის ტექნიკა
ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის შებრუნებული ოპერაცია. F-ის ანტიწარმოებულის პოვნა f-ისთვის ნიშნავს ფუნქციის არჩევას, რომლის წარმოებული უდრის f. შემოწმება ყოველთვის ერთი და იგივეა: პასუხის დიფერენცირება.
წრფივობა: ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს, მუდმივი ფაქტორი აღებულია გარეთ. წრფივი ჩანაცვლება: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — როდესაც წრფივი გამოხატულება დგას ინტეგრალის ქვეშ x-ის ნაცვლად.
ნაწილების მიხედვით ინტეგრაცია: ∫u dv = u·v − ∫v du. იგი გამოიყენება პროდუქტებზე, როგორიცაა x·eˣ ან x·sin x. ყველა ინტეგრალი არ შეიძლება გამოისახოს ელემენტარული ფუნქციებით - მაგალითად, ∫e^(−x²) dx-ს არ აქვს დახურული ფორმულა და ეს ნორმალურია.