განსაზღვრული ინტეგრალი — გრაფაში არსებული ფართობი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით
ფუნქცია f(x)
ინტეგრალის ღირებულება
განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ f(x) dx a-დან b-მდე არის ფართობი გრაფიკსა და X ღერძს შორის ინტერვალზე [a; ბ]. ღერძის ქვემოთ ნაწილები ითვლება მინუს ნიშნით.
ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა
ინტეგრალური გამოთვლის მთავარი ფორმულა აკავშირებს განსაზღვრულ ინტეგრალს ანტიწარმოებულთან: ∫ f(x) dx a-დან b = F(b) − F(a), სადაც F არის f-ის ნებისმიერი ანტიწარმოებული. ასე რომ, ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ჯამებისა და ლიმიტების გარეშე: უბრალოდ აიღეთ ანტიდერივატი და შეცვალეთ საზღვრები.
📚 თეორია: რა არის ინტეგრალი
განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ₐᵇ f(x) dx არის ფიგურის ფართობი f(x) გრაფიკსა და X ღერძს შორის a-დან b-მდე ინტერვალზე. წარმოიდგინეთ ფიგურა დაჭრილი ათასობით ვიწრო ვერტიკალურ ზოლად: თითოეულის ფართობი ≈ f(x)·(სიგანე), ხოლო ინტეგრალი არის ყველა ზოლის ჯამი, როცა ნაჭრები უსასრულოდ თხელი ხდება.
ფიზიკური მნიშვნელობა: თუ f(x) არის სიჩქარე, ინტეგრალი არის მთლიანი გავლილი მანძილი; თუ f(x) არის სიმძლავრე, ინტეგრალი არის ენერგია. ინტეგრალი აგროვებს სიდიდეს, რომლის მაჩვენებელი მოცემულია ინტეგრანდით.
ფართის ნიშანი: გრაფიკის ნაწილები X ღერძის ქვემოთ უარყოფითად მოქმედებს. ამიტომ, მაგალითად, ∫ sin x dx მთელი პერიოდის განმავლობაში უდრის ნულს: ზემოთ ფართობი აუქმებს ქვემოთ არსებულ ფართობს.