Тригонометрия — кезең-кезеңімен түсіндірілетін кестелер, формулалар және теңдеулер
Негізгі тригонометриялық теңдеу
Функцияны таңдап, түбірлердің жалпы формуласын және оның қалай алынғаны туралы түсініктеме алу үшін оң жақ бөлігін енгізіңіз. Жауап мұғалім күткендей жазылады: n ∈ ℤ арқылы.
Бұл қалай шешілді - кезең-кезеңімен
Графикте: неліктен түбірлер шексіз көп
y = a қызғылт сары сызығы толқынды ерітінді нүктелерінде қиып өтеді. Синус пен косинус 2π сайын қайталанады (бұл период), сондықтан қиылысулар шексіз тізбекті құрайды — әрбір период бірдей түбірлер жиынтығын қосады. Жауаптағы «+ 2πn» немесе «+ πn» дәл осы жерден шыққан.
Бірлік шеңберінде
Бұрыш cos осінен сағат тіліне қарсы бағытта өлшенеді. Бұрыштың косинусы – нүктенің горизонталь координатасы, синусы – тік. sin x = a шешімдері биіктігі а (көлденең сызық) тең нүктелер, ал cos x = a қажетті көлденең координатасы бар нүктелер (тік сызық). Әдетте шеңберде екі осындай нүкте бар - демек, бір айналымға екі тамыр.
Бұрыш үшін функция мәндері
Sin, cos, tan және cot алу үшін бұрышты градуспен (мысалы, 60) немесе радианмен (мысалы, π/3 немесе pi/3) енгізіңіз. Кесте бұрыштары үшін жауап нақты, әйтпесе ол 6 цифрға дейін дөңгелектенеді.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Кері функциялар
arcsin, arccos, arctan және arccot функция мәнінен бұрышты қайтарады — негізгі мән, градус және радиан. arcsin және arccos тек −1-ден 1-ге дейінгі мәндер үшін анықталады.
Мәндер кестесі
Негізгі бұрыштар үшін мәндер — жиі сұралатындар. Сызықша функцияның сол нүктеде анықталмағанын білдіреді.
| Дәрежелер | Радиандар | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Негізгі формулалар
Сәйкестіктер
| sin²x + cos²x = 1 | негізгі сәйкестік |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Аргументтердің қосындысы
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Екі және жарты бұрыш
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Қысқарту формулалары
Ереже: π/2 және 3π/2 үшін функция өзінің кофункциясына ауысады (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π және 2π үшін ол өзгеріссіз қалады. Таңба бастапқы бұрыш жатқан квадранттан алынады.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Теория: негізгі теңдеулерді шешу жолы
Негізгі тригонометриялық теңдеу sin x = a, cos x = a немесе tan x = a түріндегі теңдік болып табылады. Оны шешу функциясы а-ға тең барлық бұрыштарды табуды білдіреді. Мұндай бұрыштар шексіз көп: функциялар периодты, сондықтан жауап n бүтін параметрі бар жалпы формула түрінде жазылады.
Синус периоды 2π, бірақ периодта оның түбірлері π/2 шамасында симметриялы болады, сондықтан формулада (−1)ⁿ факторы және πn периоды бар. Косинустың түбірлері нөлге жуық симметриялы, демек ± белгісі. Тангенстің периоды π және ең қарапайым формуласы бар.
sin x = 0, ±1 және cos x = 0, ±1 ерекше жағдайлар бөлек есте сақталады. Жалпы формула олар үшін де жұмыс істейді, бірақ ол көлемді, ал қысқа пішін емтихан кезінде уақытты үнемдейді.
Егер |а| > 1, синусы немесе косинусы бар теңдеудің шешімі жоқ: бұл функциялар ешқашан −1-ден 1-ге дейінгі аралықтан шықпайды. Тангенс пен котангенсте мұндай шектеу жоқ — олар кез келген мәнді қабылдайды.