Тригонометрия — этап-этабы менен түшүндүрүлгөн таблицалар, формулалар жана теңдемелер
Негизги тригонометриялык теңдеме
Функцияны тандап, тамырлардын жалпы формуласын жана анын кантип алынгандыгын түшүндүрүү үчүн оң жагына кириңиз. Жооп мугалим күткөндөй жазылат: n ∈ ℤ менен.
Кантип чечилди — этап-этабы менен
Графикте: эмне үчүн чексиз көп тамырлар бар
y = a кызгылт сары сызыгы эритме чекиттеринде толкунду кесип өтөт. Синус жана косинус 2π сайын кайталанат (бул мезгил), ошондуктан кесилиштер чексиз чынжырды түзөт — ар бир период бирдей тамырлар топтомун кошот. Жооптогу “+ 2πn” же “+ πn” дал ушул жерден келип чыгат.
Бирдиктин айланасында
Бурч cos огунан саат жебесине каршы ченелет. Бурчтун косинусу чекиттин горизонталдык координатасы, синусу вертикалдуу болуп саналат. sin x = a чечимдери бийиктиги а барабар болгон чекиттер (горизонталдык сызык), ал эми cos x = a зарыл горизонталдык координатасы бар чекиттер (вертикалдык сызык). Көбүнчө тегеректе эки ушундай чекит бар - демек, бир революцияда эки тамыр.
Бурч үчүн функциянын маанилери
Бурчту градус менен (мисалы 60) же радиан менен (мисалы, π/3 же пи/3) киргизип, күнөө, кос, тан жана керебетти алыңыз. Таблица бурчтары үчүн жооп так, антпесе 6 цифрага тегеректелет.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Тескери функциялар
arcsin, arccos, arctan жана arccot бурчту функциянын маанисинен — негизги мааниден, градус жана радиан менен кайтарат. arcsin жана arccos −1ден 1ге чейинки маанилер үчүн гана аныкталат.
Маанилердин таблицасы
Негизги бурчтар үчүн баалуулуктар — көбүнчө суралгандар. Сызыкча функция ошол учурда аныкталбаганын билдирет.
| Даражалар | Радиандар | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Негизги формулалар
Тейпештиктер
| sin²x + cos²x = 1 | негизги өздүк |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Аргументтердин суммасы
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Эки жана жарым бурч
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Кыскартуу формулалары
Эреже: π/2 жана 3π/2 үчүн функция өзүнүн кофункциясына өтөт (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π жана 2π үчүн ал ошол эле бойдон калат. Белги баштапкы бурч жаткан квадранттан алынат.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Теория: негизги теңдемелерди кантип чечүү керек
Негизги тригонометриялык теңдеме sin x = a, cos x = a же tan x = a түрүндөгү теңчилик болуп саналат. Аны чечүү функциясы а барабар болгон бардык бурчтарды табуу дегенди билдирет. Мындай бурчтар чексиз көп: функциялар мезгилдүү, ошондуктан жооп n бүтүн параметри менен жалпы формула түрүндө жазылат.
Синустун периоду 2π, бирок бир мезгилде анын тамырлары π/2ге жакын симметриялуу, ошондуктан формулада (−1)ⁿ фактору жана πn мезгили камтылган. Косинустун тамырлары нөлгө жакын симметриялуу - демек ± белгиси. Тангенстин π мезгили жана эң жөнөкөй формуласы бар.
sin x = 0, ±1 жана cos x = 0, ±1 өзгөчө учурлары өзүнчө жатталат. Жалпы формула алар үчүн да иштейт, бирок ал көлөмдүү жана кыска форма экзамен учурунда убакытты үнөмдөйт.
Эгерде |a| > 1, синус же косинус менен теңдеменин чечими жок: бул функциялар эч качан −1ден 1ге чейинки диапазондон чыкпайт. Тангенс менен котангенстин мындай чектөөсү жок — алар кандайдыр бир маанини алышат.