Derivatif — dengan pecahan terperinci setiap langkah dan graf
Fungsi f(x)
Derivatif
Bagaimana ia dikira — langkah demi langkah
Setiap langkah menamakan peraturan yang digunakan dan menunjukkan perkara yang digantikan, supaya penyelesaiannya boleh disalin ke dalam buku nota anda.
Graf fungsi dan terbitannya
Lengkung biru ialah fungsi f(x), yang oren ialah terbitan f′(x). Latar belakang hijau: f′(x) > 0 dan fungsi semakin meningkat. Latar belakang merah: f′(x) < 0 dan fungsi semakin berkurangan. Titik di mana terbitan bersamaan dengan sifar ditandakan pada graf — ini ialah ekstrem (puncak dan lembah).
Apa itu derivatif — tiga makna
Makna geometri
Terbitan f′(x₀) ialah cerun garis tangen kepada graf pada titik x₀, iaitu tangen bagi sudut kecondongannya. Derivatif besar bermaksud kenaikan yang curam, negatif bermaksud penurunan, sifar bermaksud tangen adalah mendatar (puncak atau lembah). Itulah sebabnya tanda derivatif memberitahu anda sama ada fungsi itu meningkat atau berkurangan.
Makna fizikal
Jika suatu fungsi menerangkan kedudukan jasad sebagai fungsi masa s(t), maka terbitan s′(t) ialah halaju segera, dan terbitan kedua s″(t) ialah pecutan. Secara amnya derivatif ialah kadar perubahan kuantiti: berapa cepat y berubah apabila x berubah. Ini adalah makna asal yang Newton memperkenalkan terbitan.
Makna algebra
Secara rasmi terbitan ialah had nisbah kenaikan: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h sebagai h → 0. Kami mengambil langkah kecil h, lihat berapa banyak fungsi berubah, dan bahagikan dengan panjang langkah. Apabila langkah menghampiri sifar, nisbah menghampiri kadar perubahan yang tepat pada titik itu.
Derivatif dan ekstrem
Pada titik maksimum dan minimum tangen adalah mendatar, jadi terbitan di sana sama dengan sifar. Ini adalah teknik utama untuk mencari nilai terbesar dan terkecil: tetapkan derivatif kepada sifar dan cari punca. Jika, apabila melalui titik sedemikian, derivatif bertukar tanda daripada “+” kepada “−”, ia adalah maksimum; daripada “−” kepada “+”, minimum.
Jadual derivatif
Formula teras — formula yang sama digunakan dalam pecahan di atas. C ialah pemalar, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Peraturan pembezaan
Terbitan jumlah bersamaan dengan hasil tambah terbitan: (u + v)′ = u′ + v′. Faktor malar diambil di luar: (C·u)′ = C·u′.
Peraturan produk: (u·v)′ = u′v + u·v′. Peraturan pecahan: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
peraturan rantai untuk fungsi komposit: mula-mula bezakan fungsi luar, kemudian darab dengan terbitan bagi fungsi dalam. Contohnya, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.