Antiderivatif — dengan pecahan terperinci setiap langkah dan graf
Fungsi f(x)
Antiderivatif
Antiterbitan F(x) ialah fungsi yang terbitannya memberikan kembali asal: F′(x) = f(x). Sebarang pemalar C boleh ditambah kepada antiterbitan, itulah sebabnya ia sentiasa ditulis.
Bagaimana ia dikira — langkah demi langkah
Setiap langkah menamakan teknik yang digunakan dan menunjukkan penggantian, jadi penyelesaiannya boleh disalin ke dalam buku nota anda.
Graf fungsi dan antiterbitannya
Lengkung biru ialah fungsi f(x), yang oren ialah antiterbitan F(x). Semak pautan: apabila f(x) positif, antiterbitan meningkat; di mana f(x) adalah negatif ia berkurangan; di mana f(x) = 0 antiterbitan mempunyai puncak atau lembah. Ini betul-betul hubungan songsang berbanding derivatif.
Jadual antiderivatif
Formula teras. C ialah pemalar arbitrari. Mana-mana baris mudah untuk disahkan: bezakan lajur kanan dan anda mendapat yang kiri.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Kamiran pasti — kawasan di bawah graf → · Operasi songsang — terbitan →
📚 Teori: teknik integrasi
Integrasi ialah operasi songsang kepada pembezaan. Untuk mencari antiterbitan F untuk f bermakna memilih fungsi yang terbitan sama dengan f. Semakan sentiasa sama: bezakan jawapan.
Kelinearan: kamiran jumlah bersamaan dengan hasil tambah kamiran, faktor pemalar diambil di luar. Penggantian linear: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — apabila ungkapan linear terletak di bawah kamiran dan bukannya x.
Penyepaduan mengikut bahagian: ∫u dv = u·v − ∫v du. Ia digunakan pada produk seperti x·eˣ atau x·sin x. Tidak setiap kamiran boleh dinyatakan melalui fungsi asas — contohnya, ∫e^(−x²) dx tidak mempunyai formula tertutup, dan itu adalah perkara biasa.