Pochodna — ze szczegółowym opisem każdego kroku i wykresem

Niebieska krzywa to funkcja f(x), pomarańczowa to pochodna f′(x). Zielone tło: f′(x) > 0 i funkcja rośnie. Czerwone tło: f′(x) < 0 i funkcja maleje. Na wykresie zaznaczono punkty, w których pochodna jest równa zero — są to ekstrema (szczyty i doliny).

Znaczenie geometryczne

Pochodna f′(x₀) to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie x₀, czyli tangens kąta jej nachylenia. Duża pochodna oznacza stromy wzrost, ujemna spadek, zero oznacza, że ​​styczna jest pozioma (szczyt lub dolina). Właśnie dlatego znak pochodnej mówi, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.

Znaczenie fizyczne

Jeżeli funkcja opisuje położenie ciała w funkcji czasu s(t), to pochodna s′(t) to prędkość chwilowa, a druga pochodna s″(t) to przyspieszenie. Ogólnie rzecz biorąc, pochodną jest szybkość zmiany wielkości: jak szybko zmienia się y wraz ze zmianą x. To jest pierwotne znaczenie, dla którego Newton wprowadził pochodną.

Znaczenie algebraiczne

Formalnie pochodną jest granica stosunku przyrostów: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h jako h → 0. Wykonujemy mały krok h, sprawdzamy, jak bardzo zmieniła się funkcja, i dzielimy przez długość kroku. Gdy krok zbliża się do zera, stosunek zbliża się do dokładnej szybkości zmian w tym punkcie.

Pochodna i ekstrema

W punktach maksymalnych i minimalnych styczna jest pozioma, zatem pochodna w tym miejscu wynosi zero. Oto główna technika znajdowania największych i najmniejszych wartości: ustaw pochodną na zero i znajdź pierwiastki. Jeżeli pochodna przy przejściu przez taki punkt zmieni znak z „+” na „−”, to jest to maksimum; od „-” do „+”, minimum.

Podstawowe formuły — te same, które zastosowano w powyższym podziale. C jest stałą, a > 0.

Działanie odwrotne — funkcje pierwotne i całki →