Funkcja pierwotna — ze szczegółowym opisem każdego kroku i wykresem
Funkcja f(x)
Funkcja pierwotna
Funkcja pierwotna F(x) jest funkcją, której pochodna zwraca oryginał: F′(x) = f(x). Do funkcji pierwotnej można dodać dowolną stałą C i dlatego jest ona zawsze zapisywana.
Jak to obliczono – krok po kroku
Każdy krok określa zastosowaną technikę i pokazuje zamiennik, dzięki czemu rozwiązanie można skopiować do swojego notatnika.
Wykres funkcji i jej funkcji pierwotnej
Niebieska krzywa to funkcja f(x), pomarańczowa to funkcja pierwotna F(x). Sprawdź powiązanie: gdzie f(x) jest dodatnie, funkcja pierwotna rośnie; gdzie f(x) jest ujemne, to maleje; gdzie f(x) = 0 funkcja pierwotna ma szczyt lub dolinę. Jest to dokładnie odwrotna zależność w porównaniu z pochodną.
Tabela funkcji pierwotnych
Podstawowe formuły. C jest dowolną stałą. Każdy wiersz można łatwo zweryfikować: odróżnij prawą kolumnę, a otrzymasz lewą.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Całka oznaczona — pole pod wykresem → · Działanie odwrotne — pochodna →
📚 Teoria: techniki integracyjne
Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Znalezienie funkcji pierwotnej F dla f oznacza wybranie funkcji, której pochodna jest równa f. Kontrola jest zawsze taka sama: różnicuj odpowiedź.
Liniowość: całka z sumy jest równa sumie całek, współczynnik stały jest usuwany na zewnątrz. Podstawienie liniowe: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — gdy wyrażenie liniowe stoi pod całką zamiast x.
Całkowanie przez części: ∫u dv = u·v − ∫v du. Stosuje się go do produktów takich jak x·eˣ lub x·sin x. Nie każdą całkę można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych — na przykład ∫e^(−x²) dx nie ma zamkniętego wzoru i jest to normalne.