Derivada — com uma análise detalhada de cada etapa e um gráfico
Função f(x)
Derivado
Como foi calculado – passo a passo
Cada etapa nomeia a regra que foi aplicada e mostra o que foi substituído, para que a solução possa ser copiada para o seu notebook.
Gráfico da função e sua derivada
A curva azul é a função f(x), a laranja é a derivada f′(x). Fundo verde: f′(x) > 0 e a função é crescente. Fundo vermelho: f′(x) <0 e a função está diminuindo. Os pontos onde a derivada é igual a zero estão marcados no gráfico – estes são os extremos (picos e vales).
O que é uma derivada – três significados
Significado geométrico
A derivada f′(x₀) é a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto x₀, ou seja, a tangente do seu ângulo de inclinação. Uma derivada grande significa uma subida acentuada, uma negativa significa uma descida, zero significa que a tangente é horizontal (um pico ou um vale). É exatamente por isso que o sinal da derivada indica se a função é crescente ou decrescente.
Significado físico
Se uma função descreve a posição de um corpo em função do tempo s(t), então a derivada s′(t) é a velocidade instantânea, e a segunda derivada s″(t) é a aceleração. Em geral, a derivada é a taxa de variação de uma quantidade: quão rápido y muda à medida que x muda. Este é o significado original para o qual Newton introduziu a derivada.
Significado algébrico
Formalmente, a derivada é o limite da razão de incrementos: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h como h → 0. Damos um pequeno passo h, vemos quanto a função mudou e dividimos pelo comprimento do passo. À medida que o passo se aproxima de zero, a razão se aproxima da taxa exata de mudança no ponto.
A derivada e os extremos
Nos pontos máximo e mínimo a tangente é horizontal, então a derivada ali é igual a zero. Esta é a principal técnica para encontrar valores maiores e menores: defina a derivada como zero e encontre as raízes. Se, ao passar por tal ponto, a derivada muda de sinal de “+” para “-”, é um máximo; de “-” a “+”, no mínimo.
Tabela de derivadas
As fórmulas básicas – as mesmas usadas na análise acima. C é uma constante, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Regras de diferenciação
A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas: (u + v)′ = u′ + v′. Um fator constante é retirado: (C·u)′ = C·u′.
Regra do produto: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Regra do quociente: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
A regra da cadeia para uma função composta: primeiro diferencie a função externa e depois multiplique pela derivada da interna. Por exemplo, (sen 2x)′ = cos(2x)·2.