Antiderivada — com uma análise detalhada de cada etapa e um gráfico
Função f(x)
Antiderivada
A antiderivada F(x) é uma função cuja derivada retorna o original: F′(x) = f(x). Qualquer constante C pode ser adicionada a uma antiderivada, por isso é sempre escrita.
Como foi calculado – passo a passo
Cada etapa nomeia a técnica utilizada e mostra a substituição, para que a solução possa ser copiada em seu caderno.
Gráfico da função e sua antiderivada
A curva azul é a função f(x), a laranja é a antiderivada F(x). Confira o link: onde f(x) é positivo a antiderivada aumenta; onde f(x) é negativo, diminui; onde f(x) = 0 a antiderivada tem um pico ou um vale. Esta é exatamente a relação inversa em comparação com a derivada.
Tabela de antiderivadas
As fórmulas básicas. C é uma constante arbitrária. Qualquer linha é fácil de verificar: diferencie a coluna da direita e você obterá a da esquerda.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Integral definida — a área sob o gráfico → · A operação inversa — a derivada →
📚 Teoria: técnicas de integração
Integração é a operação inversa à diferenciação. Encontrar uma antiderivada F para f significa escolher uma função cuja derivada seja igual a f. A verificação é sempre a mesma: diferencie a resposta.
Linearidade: a integral de uma soma é igual à soma das integrais, um fator constante é retirado. Substituição linear: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — quando uma expressão linear está sob a integral em vez de x.
Integração por partes: ∫u dv = u·v − ∫v du. É aplicado a produtos como x·eˣ ou x·sin x. Nem toda integral pode ser expressa por meio de funções elementares — por exemplo, ∫e^(−x²) dx não tem fórmula fechada, e isso é normal.