Integral definida — a área sob o gráfico com a fórmula de Newton-Leibniz
Função f(x)
Valor da integral
A integral definida ∫ f(x) dx de a até b é a área entre o gráfico e o eixo X no intervalo [a; b]. As peças abaixo do eixo são contadas com um sinal negativo.
A fórmula de Newton-Leibniz
A fórmula principal do cálculo integral liga a integral definida com a antiderivada: ∫ f(x) dx de a até b = F(b) − F(a), onde F é qualquer antiderivada de f. Portanto, a área pode ser encontrada sem somas e limites: basta pegar a antiderivada e substituir os limites.
📚 Teoria: o que é uma integral
A integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx é a área da figura entre o gráfico de f(x) e o eixo X no intervalo de a a b. Imagine a figura cortada em milhares de tiras verticais estreitas: a área de cada ≈ f(x)·(largura), e a integral é a soma de todas as tiras à medida que o corte se torna infinitamente fino.
Significado físico: se f(x) é velocidade, a integral é a distância total percorrida; se f(x) é potência, a integral é energia. A integral acumula uma quantidade cuja taxa é dada pelo integrando.
O sinal da área: partes do gráfico abaixo do eixo X contribuem negativamente. É por isso que, por exemplo, ∫ sen x dx durante um período completo é igual a zero: a área acima cancela a área abaixo.