Derivată — cu o defalcare detaliată a fiecărui pas și un grafic
Funcția f(x)
Derivat
Cum a fost calculat - pas cu pas
Fiecare pas denumește regula care a fost aplicată și arată ce a fost înlocuit, astfel încât soluția să poată fi copiată în blocnotes.
Graficul funcției și derivata ei
Curba albastră este funcția f(x), cea portocalie este derivata f′(x). Fundal verde: f′(x) > 0 și funcția este în creștere. Fundal roșu: f′(x) < 0 și funcția este în scădere. Punctele în care derivata este egală cu zero sunt marcate pe grafic - acestea sunt extremele (vârfurile și văile).
Ce este un derivat - trei sensuri
Sensul geometric
Derivata f′(x₀) este panta dreptei tangente la grafic în punctul x₀, adică tangenta unghiului său de înclinare. O derivată mare înseamnă o creștere abruptă, una negativă înseamnă o coborâre, zero înseamnă că tangenta este orizontală (un vârf sau o vale). Tocmai de aceea semnul derivatei vă spune dacă funcția este în creștere sau în descreștere.
Sensul fizic
Dacă o funcție descrie poziția unui corp în funcție de timpul s(t), atunci derivata s′(t) este viteza instantanee, iar derivata a doua s″(t) este accelerația. În general, derivata este rata de modificare a unei mărimi: cât de repede se modifică y pe măsură ce se modifică x. Acesta este sensul original pentru care Newton a introdus derivatul.
Sensul algebric
Formal, derivata este limita raportului de incremente: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h ca h → 0. Facem un pas mic h, vedem cât de mult s-a schimbat funcția și împărțim la lungimea pasului. Pe măsură ce pasul se apropie de zero, raportul se apropie de rata exactă de schimbare în punctul respectiv.
Derivatul și extrema
La punctele maxime și minime tangenta este orizontală, deci derivata de acolo este egală cu zero. Aceasta este tehnica principală pentru găsirea valorilor mai mari și cele mai mici: setați derivata la zero și găsiți rădăcinile. Dacă, la trecerea printr-un astfel de punct, derivata își schimbă semnul din „+” în „−”, este un maxim; de la „−” la „+”, un minim.
Tabelul derivatelor
Formulele de bază — aceleași utilizate în defalcarea de mai sus. C este o constantă, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Reguli de diferențiere
derivata unei sume este egală cu suma derivatelor: (u + v)′ = u′ + v′. Un factor constant este luat în afara: (C·u)′ = C·u′.
Regula produsului: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Regula coeficientului: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Regula lanțului pentru o funcție compusă: mai întâi diferențiați funcția exterioară, apoi înmulțiți cu derivata celei interioare. De exemplu, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.