Antiderivată — cu o defalcare detaliată a fiecărui pas și un grafic
Funcția f(x)
Antiderivat
Antiderivata F(x) este o funcție a cărei derivată redă originalul: F′(x) = f(x). Orice constantă C poate fi adăugată unei antiderivate, motiv pentru care este întotdeauna scrisă.
Cum a fost calculat - pas cu pas
Fiecare pas denumește tehnica utilizată și arată înlocuirea, astfel încât soluția să poată fi copiată în caiet.
Graficul funcției și antiderivatul acesteia
Curba albastră este funcția f(x), cea portocalie este antiderivată F(x). Verificați legătura: unde f(x) este pozitiv, antiderivată crește; unde f(x) este negativ, scade; unde f(x) = 0 antiderivata are un vârf sau o vale. Aceasta este exact relația inversă în comparație cu derivata.
Tabel cu antiderivate
Formulele de bază. C este o constantă arbitrară. Orice rând este ușor de verificat: diferențiază coloana din dreapta și obții pe cea din stânga.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Integrală definită — aria de sub grafic → · Operația inversă — derivata →
📚 Teorie: tehnici de integrare
Integrarea este operația inversă diferențierii. A găsi o antiderivată F pentru f înseamnă a alege o funcție a cărei derivată este egală cu f. Verificarea este întotdeauna aceeași: diferențiază răspunsul.
Liniaritate: integrala unei sume este egală cu suma integralelor, un factor constant este luat în afara. Sustituție liniară: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — când o expresie liniară se află sub integrală în loc de x.
Integrare pe părți: ∫u dv = u·v − ∫v du. Se aplică la produse precum x·eˣ sau x·sin x. Nu orice integrală poate fi exprimată prin funcții elementare — de exemplu, ∫e^(−x²) dx nu are o formulă închisă și aceasta este normală.