Производная — с подробным разбором каждого шага и графиком
Функция f(x)
Производная
Как это посчитано — по шагам
Каждый шаг называет применённое правило и показывает, что во что подставили, — решение можно переписать в тетрадь.
График функции и её производной
Синяя кривая — функция f(x), оранжевая — производная f′(x). Зелёный фон: там f′(x) > 0 и функция растёт. Красный фон: f′(x) < 0 и функция убывает. Точки, где производная равна нулю, отмечены на графике — это экстремумы (вершины и впадины).
Что такое производная — три смысла
Геометрический смысл
Производная f′(x₀) — это угловой коэффициент касательной к графику в точке x₀, то есть тангенс угла её наклона. Большая производная — крутой подъём, отрицательная — спуск, ноль — касательная горизонтальна (вершина или впадина). Именно поэтому по знаку производной видно, растёт функция или убывает.
Физический смысл
Если функция описывает координату тела в зависимости от времени s(t), то производная s′(t) — это мгновенная скорость, а вторая производная s″(t) — ускорение. В общем случае производная — это скорость изменения величины: насколько быстро меняется y при изменении x. Это исходный смысл, ради которого Ньютон и вводил производную.
Алгебраический смысл
Формально производная — это предел отношения приращений: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h при h → 0. Мы берём крошечный шаг h, смотрим, насколько изменилась функция, и делим на длину шага. Когда шаг стремится к нулю, отношение приближается к точному значению скорости изменения в точке.
Производная и экстремумы
В точках максимума и минимума касательная горизонтальна, поэтому производная там равна нулю. Это главный приём поиска наибольших и наименьших значений: приравнять производную к нулю и найти корни. Если при переходе через такую точку производная меняет знак с «+» на «−» — это максимум, с «−» на «+» — минимум.
Таблица производных
Основные формулы — те же, что применяются в разборе выше. C — постоянная, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Правила дифференцирования
Производная суммы равна сумме производных: (u + v)′ = u′ + v′. Постоянный множитель выносится: (C·u)′ = C·u′.
Правило произведения: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Правило частного: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Цепное правило для сложной функции: сначала дифференцируем внешнюю функцию, потом умножаем на производную внутренней. Например, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.