Первообразная — с подробным разбором каждого шага и графиком
Функция f(x)
Первообразная
Первообразная F(x) — функция, производная которой возвращает исходную: F′(x) = f(x). К любой первообразной можно прибавить постоянную C, поэтому её всегда дописывают.
Как это посчитано — по шагам
Каждый шаг называет применённый приём и показывает подстановку, — решение можно переписать в тетрадь.
График функции и её первообразной
Синяя кривая — функция f(x), оранжевая — первообразная F(x). Проверьте связь: там, где f(x) положительна, первообразная растёт; где f(x) отрицательна — убывает; где f(x) = 0 — у первообразной вершина или впадина. Это ровно обратная связь по сравнению с производной.
Таблица первообразных
Основные формулы. C — произвольная постоянная. Любую строку легко проверить: продифференцируйте правый столбец — получится левый.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Определённый интеграл — площадь под графиком → · Обратная операция — производная →
📚 Теория: приёмы интегрирования
Интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Найти первообразную F для f означает подобрать такую функцию, производная которой равна f. Проверка всегда одна: продифференцировать ответ.
Линейность: интеграл суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель выносится. Линейная замена: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — если под интегралом стоит линейное выражение вместо x.
Интегрирование по частям: ∫u dv = u·v − ∫v du. Применяется к произведениям вроде x·eˣ или x·sin x. Не всякий интеграл берётся в элементарных функциях — например, ∫e^(−x²) dx не выражается формулой, и это нормально.