Определённый интеграл — площадь под графиком с формулой Ньютона–Лейбница
Функция f(x)
Значение интеграла
Определённый интеграл ∫ f(x) dx от a до b — это площадь между графиком и осью X на отрезке [a; b]. Участки ниже оси считаются со знаком минус.
Формула Ньютона–Лейбница
Главная формула интегрального исчисления связывает определённый интеграл с первообразной: ∫ f(x) dx от a до b = F(b) − F(a), где F — любая первообразная f. То есть площадь можно найти без сумм и пределов: достаточно взять первообразную и подставить границы.
📚 Теория: что такое интеграл
Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx — площадь фигуры между графиком f(x) и осью X на отрезке от a до b. Представьте, что фигуру нарезали на тысячи узких вертикальных полосок: площадь каждой ≈ f(x)·(ширина), а интеграл — сумма всех полосок при бесконечно тонкой нарезке.
Физический смысл: если f(x) — скорость, то интеграл — весь пройденный путь; если f(x) — мощность, то интеграл — энергия. Интеграл «накапливает» величину, скорость которой задаёт подынтегральная функция.
Знак площади: участки графика ниже оси X дают отрицательный вклад. Поэтому, например, ∫ sin x dx по полному периоду равен нулю: площадь сверху компенсируется площадью снизу.