ත්රිකෝණමිතිය — වගු, සූත්ර සහ සමීකරණ පැහැදිලි කිරීම් සමඟ
මූලික ත්රිකෝණමිතික සමීකරණය
මූලයන් සඳහා සාමාන්ය සූත්රය සහ එය ලබාගත් ආකාරය පිළිබඳ පැහැදිලි කිරීමක් ලබා ගැනීමට ශ්රිතයක් තෝරා දකුණු පස ඇතුළු කරන්න. පිළිතුර ලියා ඇත්තේ ගුරුවරයෙකු බලාපොරොත්තු වන ආකාරයට ය: n ∈ ℤ සමඟ.
එය විසඳූ ආකාරය - පියවරෙන් පියවර
ප්රස්ථාරයේ: අසීමිත මූලයන් ඇත්තේ ඇයි
තැඹිලි රේඛාව y = a විසඳුම් ස්ථානවලදී තරංගය හරස් කරයි. සයින් සහ කොසයින් සෑම 2π (මෙය කාල පරිච්ඡේදය) පුනරාවර්තනය වේ, එබැවින් ඡේදනය අසීමිත දාමයක් සාදයි - සෑම කාල පරිච්ඡේදයක්ම එකම මූලයන් එකතු කරයි. පිළිතුරේ “+ 2πn” හෝ “+ πn” පැමිණෙන්නේ එතැනිනි.
ඒකක කවය මත
කෝණය මනිනු ලබන්නේ cos අක්ෂය වාමාවර්තව ය. කෝණයේ කෝසයින් ලක්ෂ්යයේ තිරස් ඛණ්ඩාංකය වේ, සයින් සිරස් එක වේ. sin x = a හි විසඳුම් යනු a (තිරස් රේඛාවක්) උස සමාන වන ලක්ෂ්ය වන අතර cos x = a යනු අවශ්ය තිරස් ඛණ්ඩාංකය (සිරස් රේඛාවක්) සහිත ලක්ෂ්ය වේ. සාමාන්යයෙන් රවුමේ එවැනි ලක්ෂ්ය දෙකක් ඇත - එබැවින් විප්ලවයකට මුල් දෙකක්.
කෝණයක් සඳහා ශ්රිතයේ අගයන්
sin, cos, tan සහ cot ලබා ගැනීමට කෝණයක් අංශක වලින් (උදාහරණයක් ලෙස 60) හෝ රේඩියන වලින් (උදාහරණයක් ලෙස π/3 හෝ pi/3) ඇතුළු කරන්න. වගු කෝණ සඳහා පිළිතුර නිවැරදි වේ, එසේ නොමැති නම් එය ඉලක්කම් 6 දක්වා වට කර ඇත.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
ප්රතිලෝම ශ්රිත
arcsin, arccos, arctan සහ arccot ශ්රිත අගයකින් කෝණය ආපසු ලබා දෙයි - ප්රධාන අගය, අංශක සහ රේඩියන වලින්. arcsin සහ arccos අර්ථ දක්වා ඇත්තේ −1 සිට 1 දක්වා අගයන් සඳහා පමණි.
අගයන්ගේ වගුව
ප්රධාන කෝණ සඳහා අගයන් - බොහෝ විට අසන ලද ඒවා. ඩෑෂ් යන්නෙන් අදහස් වන්නේ එම අවස්ථාවේදී ශ්රිතය නිර්වචනය කර නොමැති බවයි.
| උපාධි | රේඩියන්ස් | sin | cos | tg | ctg |
|---|
ප්රධාන සූත්ර
අනන්යතා
| sin²x + cos²x = 1 | මූලික අනන්යතාවය |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
තර්ක එකතුව
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
ද්විත්ව සහ අර්ධ කෝණය
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
අඩු කිරීමේ සූත්ර
රීතිය: π/2 සහ 3π/2 සඳහා ශ්රිතය එහි ක්රියාකාරීත්වයට මාරු වේ (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π සහ 2π සඳහා එය එලෙසම පවතී. ලකුණ ලබාගෙන ඇත්තේ මුල් කෝණය ඇති චතුරස්රයෙන්.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 න්යාය: මූලික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද
මූලික ත්රිකෝණමිතික සමීකරණයක් යනු sin x = a, cos x = a හෝ tan x = a ආකෘතියේ සමානතාවයකි. එය විසඳීම යනු ශ්රිතය a සමාන වන සියලු කෝණ සොයා ගැනීමයි. එවැනි කෝණ අනන්තවත් ඇත: ශ්රිත ආවර්තිතා වේ, එබැවින් පිළිතුර n පූර්ණ සංඛ්යා පරාමිතියක් සහිත සාමාන්ය සූත්රයක් ලෙස ලියා ඇත.
සයින් කාල පරිච්ඡේදය 2π වේ, නමුත් යම් කාල පරිච්ඡේදයකදී එහි මූලයන් π/2 පමණ සමමිතික වේ, එම නිසා සූත්රයේ සාධකය (−1)ⁿ සහ πn කාල පරිච්ඡේදය අඩංගු වේ. කොසයිනයේ මූලයන් ශුන්යයට සමමිතික වේ - එබැවින් ± ලකුණ. ස්පර්ශකයට කාලපරිච්ඡේදය π සහ සියල්ලටම වඩා සරලම සූත්රය ඇත.
විශේෂ අවස්ථා sin x = 0, ± 1 සහ cos x = 0, ± 1 වෙන වෙනම මතක තබා ගනී. සාමාන්ය සූත්රය ඔවුන් සඳහාද ක්රියා කරයි, නමුත් එය විශාල වන අතර කෙටි ආකෘතිය විභාගයකදී කාලය ඉතිරි කරයි.
නම් |a| > 1, සයින් හෝ කෝසයිනයක් සහිත සමීකරණයකට විසඳුම් නොමැත: මෙම ශ්රිත කිසිවිටෙක −1 සිට 1 දක්වා පරාසයෙන් ඉවත් නොවේ. ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වලට එවැනි සීමාවක් නොමැත - ඒවා ඕනෑම අගයක් ගනී.