ත්‍රිකෝණමිතිය — අගයන්, සුළු කිරීම සහ සමීකරණ, පියවරෙන් පියවර පැහැදිලි කිරීම් සමඟ
ගැටලුව
ප්‍රකාශනයක්, සමීකරණයක් හෝ සුළු කළ යුතු දෙයක් අභ්‍යාස පොතේ ලියන ආකාරයටම ඇතුළත් කරන්න. අංශක ලකුණ නැති සංඛ්‍යාවක් අංශක ලෙස සැලකේ; රේඩියන සඳහා π භාවිත කරන්න.
විසඳූ ආකාරය — පියවරෙන් පියවර
මෙම කෝණයේ අනෙක් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත
ප්‍රස්තාරයෙන්: මූල අනන්ත ගණනක් ඇත්තේ ඇයි
තැඹිලි පාට y = a රේඛාව විසඳුම් ලක්ෂ්‍යවලදී තරංගය ඡේදනය කරයි. සයින් සහ කොසයින් සෑම 2π කටම වරක් පුනරාවර්තනය වේ (මෙය ආවර්තයයි), එබැවින් ඡේදන ලක්ෂ්‍ය අනන්ත දාමයක් සාදයි — සෑම ආවර්තයක්ම එම මූල කට්ටලයම එකතු කරයි. පිළිතුරේ “+ 2πn” හෝ “+ πn” පැමිණෙන්නේ එතැනිනි.
ඒකක වෘත්තය මත
කෝණය cos අක්ෂයේ සිට වාමාවර්තව මනිනු ලැබේ. කෝණයේ කොසයිනය ලක්ෂ්‍යයේ තිරස් ඛණ්ඩාංකය වන අතර සයිනය සිරස් ඛණ්ඩාංකයයි. sin x = a හි විසඳුම් යනු උස a ට සමාන ලක්ෂ්‍ය වේ (තිරස් රේඛාවක්); cos x = a හි විසඳුම් යනු අවශ්ය තිරස් ඛණ්ඩාංකය සහිත ලක්ෂ්‍ය වේ (සිරස් රේඛාවක්). සාමාන්‍යයෙන් වෘත්තය මත එවැනි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් ඇත — එබැවින් සෑම භ්‍රමණයකටම මූල දෙකක්.
කෝණය cos අක්ෂයේ සිට වාමාවර්තව මනිනු ලැබේ. කොසයිනය ලක්ෂ්‍යයේ තිරස් ඛණ්ඩාංකය වන අතර සයිනය එහි සිරස් ඛණ්ඩාංකයයි.
සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය
ඕනෑම අගයන් දෙකක් ඇතුළත් කරන්න, ඉන් අවම වශයෙන් එකක් පාදයක් විය යුතුය — ඉතිරිය ගණනය වේ.
sin α = a/c — සම්මුඛ පාදය කර්ණයට දරන අනුපාතය, cos α = b/c — බද්ධ පාදය කර්ණයට දරන අනුපාතය, tan α = a/b — සම්මුඛ පාදය බද්ධ පාදයට දරන අනුපාතය.
විසඳූ ආකාරය — පියවරෙන් පියවර
අගය වගුව
ප්‍රධාන කෝණවල අගයන් — වැඩිපුරම අසන ඒවා. ඉරක් යෙදී ඇත්නම්, එම ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතය අර්ථ දැක්වී නැත.
| අංශක | රේඩියන | sin | cos | tg | ctg |
|---|
ප්‍රධාන සූත්‍ර
සර්වසාම්‍ය
| sin²x + cos²x = 1 | මූලික සර්වසාම්‍යය |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
කෝණවල එකතුව
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
ද්විගුණ කෝණය සහ අර්ධ කෝණය
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
කෝණය පළමු චතුර්ථකයට ගෙන ඒමේ සූත්‍ර
නීතිය: π/2 සහ 3π/2 සමඟ ශ්‍රිතය වෙනස් වේ (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π සහ 2π සමඟ එය වෙනස් නොවේ. ලකුණ ගනු ලබන්නේ මුල් කෝණය පිහිටි චතුර්ථකය අනුවයි.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 න්‍යාය: සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද
සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් යනු sin x = a, cos x = a හෝ tan x = a ආකාරයේ සමානතාවකි. එය විසඳීම යනු ශ්‍රිතය a ට සමාන වන සියලු කෝණ සොයා ගැනීමයි. එවැනි කෝණ අනන්ත ගණනක් ඇත: ශ්‍රිත ආවර්තිතා බැවින්, පිළිතුර n නිඛිල පරාමිතියක් සහිත සාධාරණ සූත්‍රයකින් ලියනු ලැබේ.
සයිනයේ ආවර්තය 2π වේ, නමුත් එක් ආවර්තයක් තුළ එහි මූල π/2 වටා සමමිතික වේ; එබැවින් සූත්‍රයේ (−1)ⁿ සාධකය සහ πn ආවර්තය ඇත. කොසයිනයේ මූල ශුන්‍යය වටා සමමිතික වේ — ± ලකුණ එතැනින් පැමිණේ. ටැන්ජන්හි ආවර්තය π වන අතර එහි සූත්‍රය සියල්ලටම වඩා සරලය.
sin x = 0, ±1 සහ cos x = 0, ±1 යන විශේෂ අවස්ථා වෙනම මතක තබා ගනී. සාධාරණ සූත්‍රය ඒවාට ද වලංගු වුවත් එය දිගය; කෙටි ආකාරය විභාගයේදී කාලය ඉතිරි කරයි.
|a| > 1 නම්, සයින් හෝ කොසයින් සහිත සමීකරණයට විසඳුම් නැත: මෙම ශ්‍රිත කිසිවිටෙක −1 සිට 1 දක්වා පරාසයෙන් පිටතට නොයයි. ටැන්ජන් සහ කොටැන්ජන් වලට එවැනි සීමාවක් නැත — ඒවා ඕනෑම අගයක් ගනී.
මෙය නොමිලේ ද?
ඔව්, සම්පූර්ණයෙන්ම නොමිලේ, ලියාපදිංචි වීමකුත් අවශ්ය නැහැ. මෙවලම මුළුමනින්ම ඔබේ බ්රවුසරය තුළ ක්රියා කරයි: ගොනුව කිසි විටෙක සේවාදායකයට යන්නේ නැහැ, එනිසා සේවාදායකය CPU හෝ දත්ත වැය කරන්නේ නැහැ — මුදල් අය කිරීමට හේතුවක් නැහැ. ජල මුද්රා නැහැ, ගොනුවේ ප්රමාණයට හෝ ගණනට සීමාවක් ද නැහැ.