Derivát — s podrobným rozpisom každého kroku a grafom
Funkcia f(x)
Derivát
Ako to bolo vypočítané - krok za krokom
Každý krok pomenúva pravidlo, ktoré sa použilo, a ukazuje, čo bolo nahradené, takže riešenie možno skopírovať do poznámkového bloku.
Graf funkcie a jej derivácie
Modrá krivka je funkcia f(x), oranžová je derivácia f′(x). Zelené pozadie: f′(x) > 0 a funkcia je rastúca. Červené pozadie: f′(x) < 0 a funkcia je klesajúca. Body, kde sa derivácia rovná nule, sú vyznačené na grafe – to sú extrémy (vrcholy a údolia).
Čo je derivát - tri významy
Geometrický význam
Derivácia f′(x₀) je sklon dotyčnice ku grafu v bode x₀, to znamená dotyčnica jeho uhla sklonu. Veľká derivácia znamená strmý vzostup, záporná znamená klesanie, nula znamená, že dotyčnica je horizontálna (vrchol alebo údolie). To je presne dôvod, prečo znamienko derivácie hovorí, či funkcia rastie alebo klesá.
Fyzický význam
Ak funkcia opisuje polohu telesa ako funkciu času s(t), potom derivácia s′(t) je okamžitá rýchlosť a druhá derivácia s″(t) je zrýchlenie. Vo všeobecnosti je derivácia rýchlosť zmeny množstva: ako rýchlo sa mení y pri zmene x. Toto je pôvodný význam, pre ktorý Newton zaviedol derivát.
Algebraický význam
Formálne je derivácia limitou pomeru prírastkov: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h ako h → 0. Urobíme malý krok h, uvidíme, ako veľmi sa funkcia zmenila, a vydelíme dĺžkou kroku. Keď sa krok blíži k nule, pomer sa blíži presnej rýchlosti zmeny v bode.
Derivát a extrém
V maximálnom a minimálnom bode je dotyčnica vodorovná, takže tamto derivácia sa rovná nule. Toto je hlavná technika na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt: nastavte deriváciu na nulu a nájdite korene. Ak pri prechode cez takýto bod derivácia zmení znamienko z „+“ na „-“, ide o maximum; od „-“ po „+“, minimálne.
Tabuľka derivátov
Základné vzorce – tie isté, ktoré sa používajú v rozpise vyššie. C je konštanta, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Pravidlá diferenciácie
Derivácia sumy sa rovná súčtu derivácií: (u + v)′ = u′ + v′. Vonku je braný konštantný faktor: (C·u)′ = C·u′.
Pravidlo produktu: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Podielové pravidlo: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
pravidlo reťazca pre zloženú funkciu: najprv diferencujte vonkajšiu funkciu a potom vynásobte deriváciou vnútornej funkcie. Napríklad (sin 2x)′ = cos(2x)·2.