Antiderivative — s podrobným rozpisom každého kroku a grafom
Funkcia f(x)
Antiderivát
Primitívna derivácia F(x) je funkcia, ktorej derivácia vráti originál: F′(x) = f(x). Akákoľvek konštanta C môže byť pridaná k primitívnej derivácii, preto sa vždy píše.
Ako to bolo vypočítané - krok za krokom
Každý krok pomenúva použitú techniku a zobrazuje nahradenie, takže riešenie možno skopírovať do svojho poznámkového bloku.
Graf funkcie a jej primitívnej funkcie
Modrá krivka je funkcia f(x), oranžová je primitívna funkcia F(x). Skontrolujte prepojenie: kde f(x) je kladné, primitívna derivácia sa zvyšuje; kde f(x) je záporné, znižuje sa; kde f(x) = 0 primitívna derivácia má vrchol alebo údolie. Toto je presne inverzný vzťah v porovnaní s derivátom.
Tabuľka primitívnych derivátov
Základné vzorce. C je ľubovoľná konštanta. Každý riadok sa dá ľahko overiť: odlíšte pravý stĺpec a získate ľavý.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Určitý integrál — plocha pod grafom → · Inverzná operácia — derivácia →
📚 Teória: integračné techniky
Integrácia je operácia inverzná k derivácii. Nájsť primitívnu F pre f znamená vybrať funkciu, ktorej derivácia sa rovná f. Kontrola je vždy rovnaká: rozlíšte odpoveď.
Linearita: integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov, konštantný faktor je vyňatý. Lineárna substitúcia: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — keď pod integrálom namiesto x stojí lineárny výraz.
Integrácia po častiach: ∫u dv = u·v − ∫v du. Aplikuje sa na produkty ako x·eˣ alebo x·sin x. Nie každý integrál je možné vyjadriť pomocou elementárnych funkcií — napríklad ∫e^(−x²) dx nemá uzavretý vzorec, a to je normálne.