Určitý integrál — plocha pod grafom s Newton-Leibnizovým vzorcom
Funkcia f(x)
Hodnota integrálu
Určitý integrál ∫ f(x) dx od a po b je plocha medzi grafom a osou X na intervale [a; b]. Časti pod osou sa počítajú so znamienkom mínus.
Newtonov-Leibnizov vzorec
Hlavný vzorec integrálneho počtu spája určitý integrál s primitívnou vlastnosťou: ∫ f(x) dx od a do b = F(b) − F(a), kde F je ľubovoľná primitívna derivácia f. Oblasť teda možno nájsť bez súčtov a limitov: stačí vziať primitívnu vlastnosť a nahradiť hranice.
📚 Teória: čo je integrál
Určitý integrál ∫ₐᵇ f(x) dx je plocha obrazca medzi grafom f(x) a osou X v intervale od a do b. Predstavte si obrazec rozrezaný na tisíce úzkych vertikálnych pásikov: plocha každého ≈ f(x)·(šírka) a integrál je súčtom všetkých pásikov, keď sa krájanie stane nekonečne tenkým.
Fyzikálny význam: ak f(x) je rýchlosť, integrál je celková prejdená vzdialenosť; ak f(x) je výkon, integrál je energia. Integrál akumuluje veličinu, ktorej miera je daná integrandom.
Znamienko oblasti: časti grafu pod osou X prispievajú negatívne. Preto sa napríklad ∫ sin x dx za celé obdobie rovná nule: oblasť nad ruší oblasť pod ňou.