Derivat — sa detaljnim pregledom svakog koraka i grafikonom
Funkcija f(k)
Derivat
Kako je izračunato — korak po korak
Svaki korak imenuje pravilo koje je primenjeno i pokazuje šta je zamenjeno, tako da se rešenje može kopirati u svoju svesku.
Grafikon funkcije i njen izvod
Plava kriva je funkcija f(k), narandžasta je izvod f′(k). Zelena pozadina: f′(k) > 0 i funkcija raste. Crvena pozadina: f′(k) < 0 i funkcija se smanjuje. Na grafikonu su označene tačke u kojima je izvod jednak nuli — to su ekstremi (vrhovi i doline).
Šta je derivat — tri značenja
Geometrijsko značenje
Izvod f′(k₀) je nagib tangente na grafik u tački k₀, odnosno tangenta njenog ugla nagiba. Veliki derivat znači strmo uspon, negativan znači pad, nula znači da je tangenta horizontalna (vrh ili dolina). Upravo zbog toga vam znak izvoda govori da li se funkcija povećava ili smanjuje.
Fizičko značenje
Ako funkcija opisuje položaj tela kao funkciju vremena s(t), onda je izvod s′(t) trenutna brzina, a drugi izvod s″(t) je ubrzanje. Uopšteno govoreći, izvod je brzina promene veličine: koliko brzo se i menja kako se k menja. Ovo je prvobitno značenje za koje je Njutn uveo derivat.
Algebarsko značenje
Formalno, izvod je ograničenje odnosa priraštaja: f′(k) = lim (f(k+h) − f(k)) / h kao h → 0. Napravimo mali korak h, vidimo koliko se funkcija promenila i podelimo sa dužinom koraka. Kako se korak približava nuli, odnos se približava tačnoj stopi promene u tački.
Izvod i ekstremi
U tački maksimuma i minimuma tangenta je horizontalna, tako da je izvod tamo jednak nuli. Ovo je glavna tehnika za pronalaženje najvećih i najmanjih vrednosti: postavite izvod na nulu i pronađite korene. Ako pri prolasku kroz takvu tačku derivacija promeni predznak sa “+” na “−”, to je maksimum; od "-" do "+", minimum.
Tabela derivata
Osnovne formule — iste one koje su korišćene u gornjoj analizi. C je konstanta, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Pravila diferencijacije
Izvod zbira jednak je zbiru izvoda: (u + v)′ = u′ + v′. Konstantni faktor se uzima izvan: (C·u)′ = C·u′.
Pravilo proizvoda: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Pravilo količnika: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Pravilo lanca za kompozitnu funkciju: prvo diferencirajte spoljašnju funkciju, a zatim pomnožite derivatom unutrašnje. Na primer, (sin 2k)′ = cos(2k)·2.