Antiderivativ — sa detaljnim pregledom svakog koraka i grafikonom
Funkcija f(k)
Antiderivativ
Antiderivat F(k) je funkcija čiji izvod daje original: F′(k) = f(k). Bilo koja konstanta C se može dodati antiderivatu, zbog čega se uvek piše.
Kako je izračunato — korak po korak
Svaki korak imenuje tehniku koja se koristi i prikazuje zamenu, tako da se rešenje može kopirati u svoju svesku.
Grafikon funkcije i njen antiderivat
Plava kriva je funkcija f(k), narandžasta je antiderivat F(k). Proverite vezu: gde je f(k) pozitivan antiderivativ raste; gde je f(k) negativna ona se smanjuje; gde je f(k) = 0 antiderivat ima vrh ili dolinu. Ovo je upravo inverzna veza u poređenju sa derivatom.
Tabela antiderivata
Osnovne formule. C je proizvoljna konstanta. Bilo koji red je lako proveriti: razlikovati desnu kolonu i dobićete levu.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Određeni integral — površina ispod grafikona → · Inverzna operacija — izvod →
📚 Teorija: tehnike integracije
Integracija je operacija inverzna diferencijaciji. Pronaći antiderivat F za f znači izabrati funkciju čiji je izvod jednak f. Provera je uvek ista: razlikovanje odgovora.
Linearnost: integral zbira jednak je zbiru integrala, konstantni faktor se uzima van. Linearna zamena: ∫f(kk + b) dk = F(kk + b)/k — kada linearni izraz stoji ispod integrala umesto k.
Integracija po delovima: ∫u dv = u·v − ∫v du. Primenjuje se na proizvode kao što su k·eˣ ili k·sin k. Ne može se svaki integral izraziti kroz elementarne funkcije — na primer, ∫e^(−k²) dk nema zatvorenu formulu, i to je normalno.