Ҳосила - бо тақсимоти муфассали ҳар як қадам ва график
Функсияи f(x)
Ҳосила
Чӣ тавр он ҳисоб карда шуд - қадам ба қадам
Ҳар як қадам қоидаеро, ки татбиқ шуда буд, номбар мекунад ва он чизе, ки иваз карда шудааст, нишон медиҳад, то ҳалли онро ба дафтарчаи шумо нусхабардорӣ кунед.
Графики функсия ва ҳосилаи он
Каҷи кабуд функсияи f(x), норанҷӣ ҳосилаи f'(x) мебошад. Заминаи сабз: f′(x) > 0 ва функсия меафзояд. Заминаи сурх: f′(x) < 0 ва функсия кам шуда истодааст. Нуқтаҳое, ки ҳосила ба сифр баробар аст, дар график қайд карда шудаанд - инҳо экстрема (қуллаҳо ва водиҳо) мебошанд.
Ҳосила чист - се маъно дорад
Маънои геометрӣ
Ҳосили f′(x₀) нишебии хати тангенс ба график дар нуқтаи x₀, яъне тангенси кунҷи тамоили он мебошад. Ҳосили калон маънои болоравии нишеб, манфии пастшавиро, сифр маънои уфуқӣ будани тангенсро дорад (қулла ё водӣ). Маҳз барои ҳамин аломати ҳосила ба шумо мегӯяд, ки функсия зиёд мешавад ё кам мешавад.
Маънои ҷисмонӣ
Агар функсия мавқеи ҷисмро ҳамчун функсияи вақт s(t) тавсиф кунад, пас ҳосилаи s′(t) суръати фаврӣ ва ҳосилаи дуюми s″(t) шитоб мебошад. Умуман ҳосила суръати тағирёбии миқдор аст: y бо тағирёбии x то чӣ андоза зуд тағир меёбад. Ин маънои аслии он аст, ки Нютон ҳосиларо ҷорӣ кардааст.
Маънои алгебрӣ
Расман ҳосила ҳадди таносуби афзоишҳо мебошад: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h ҳамчун h → 0. Мо як қадами ночизи h мегузорем, мебинем, ки функсия чӣ қадар тағир ёфтааст ва ба дарозии қадам тақсим мекунем. Вақте ки қадам ба сифр наздик мешавад, таносуб ба суръати дақиқи тағирот дар нуқта наздик мешавад.
Ҳосила ва экстрема
Дар нуқтаҳои максималӣ ва минималӣ тангенс уфуқӣ аст, бинобар ин ҳосилаи он ба сифр баробар аст. Ин усули асосии дарёфти арзишҳои калонтарин ва хурдтарин аст: ҳосиларо ба сифр муқаррар кунед ва решаҳоро пайдо кунед. Агар њангоми аз чунин нуќта гузаштан ҳосила аломати «+» ба «−» таѓйир ёбад, ин максимум аст; аз "-" то "+", ҳадди ақал.
Ҷадвали ҳосилаҳо
Формулаҳои асосӣ - ҳамонҳоест, ки дар тақсимоти боло истифода мешаванд. C доимӣ аст, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Қоидаҳои фарқият
ҳосилаи ҷамъ ба маблағи ҳосилаҳои ҳосилшуда баробар аст: (u + v)' = u' + v'. Омили доимӣ берун аз он гирифта мешавад: (Cu)′ = Cu′.
Қоидаи маҳсулот: (uv)' = u'v + uv'. Қоидаи хисорот: (u/v)' = (u'v − u·v') / v².
Қоидаи занҷир барои функсияи таркибӣ: аввал функсияи беруниро фарқ кунед, сипас ба ҳосилаи ботинӣ зарб кунед. Масалан, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.