Антидериватив - бо тақсимоти муфассали ҳар як қадам ва график
Функсияи f(x)
Антидериватив
Ф(х)-и зиддидеривативӣ функсияест, ки ҳосилаи он аслро бармегардонад: F′(x) = f(x). Ҳама гуна доимии C-ро метавон ба антидериватив илова кард, бинобар ин он ҳамеша навишта мешавад.
Чӣ тавр он ҳисоб карда шуд - қадам ба қадам
Ҳар як қадам техникаи истифодашударо номбар мекунад ва ивазкуниро нишон медиҳад, бинобар ин ҳалли онро ба дафтарчаи худ нусхабардорӣ кардан мумкин аст.
Графикаи функсия ва зидди ҳосили он
Каҷи кабуд функсияи f(x), норанҷӣ антидеривативи F(x) мебошад. Пайвандро санҷед: дар он ҷое, ки f(x) мусбат аст, антидериватив зиёд мешавад; ки f(х) манфї аст, он кам мешавад; ки дар он f(x) = 0 антидериватив қулла ё води дорад. Ин маҳз муносибати баръакс дар муқоиса бо ҳосила аст.
Ҷадвали антидеривативҳо
Формулаҳои асосӣ. C доимии ихтиёрист. Ҳар як сатрро тафтиш кардан осон аст: сутуни ростро фарқ кунед ва шумо сутуни чапро мегиред.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Интеграли муайян — майдони зери график → · Амали баръакс — ҳосилаи →
📚 Назария: усулҳои ҳамгироӣ
Интегратсия амали баръакси дифференсиалист. Ҷустуҷӯи антидеривативи F барои f маънои интихоб кардани функсияе мебошад, ки ҳосилаи он ба f баробар аст. Чек ҳамеша як хел аст: ҷавобро фарқ кунед.
Хатӣ: интеграли ҷамъ ба ҷамъи интегралҳо баробар аст, омили доимӣ берун гирифта мешавад. Ивазкунии хатӣ: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — вақте ки ифодаи хатӣ дар зери интеграл ба ҷои x меистад.
Интегратсия аз рӯи қисмҳо: ∫u dv = u·v − ∫v du. Он ба маҳсулоти монанди x·eˣ ё x·sin x истифода мешавад. На ҳар як интегралро тавассути функсияҳои элементарӣ ифода кардан мумкин аст - масалан, ∫e^(−x²) dx формулаи пӯшида надорад ва ин муқаррарӣ аст.