อนุพันธ์ — พร้อมรายละเอียดแจกแจงทุกขั้นตอนและกราฟ

เส้นโค้งสีน้ำเงินคือฟังก์ชัน f(x) ส่วนเส้นโค้งสีส้มคืออนุพันธ์ของ f′(x) พื้นหลังสีเขียว: f′(x) > 0 และฟังก์ชันเพิ่มขึ้น พื้นหลังสีแดง: f′(x) < 0 และฟังก์ชันลดลง จุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์จะถูกทำเครื่องหมายไว้บนกราฟ ซึ่งก็คือจุดสุดโต่ง (ยอดเขาและหุบเขา)

ความหมายทางเรขาคณิต

อนุพันธ์ f′(x₀) คือความชันของเส้นสัมผัสกันของกราฟที่จุด x₀ ซึ่งก็คือค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของมัน อนุพันธ์ขนาดใหญ่หมายถึงการเพิ่มขึ้นสูงชัน ค่าลบหมายถึงการลงมา ศูนย์หมายถึงเส้นสัมผัสอยู่ในแนวนอน (จุดสูงสุดหรือหุบเขา) นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายของอนุพันธ์บอกคุณว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ความหมายทางกายภาพ

หากฟังก์ชันอธิบายตำแหน่งของวัตถุเป็นฟังก์ชันของเวลา s(t) ดังนั้นอนุพันธ์ s′(t) คือ ความเร็วขณะนั้น และอนุพันธ์อันดับสอง s″(t) คือ ความเร่ง โดยทั่วไปอนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ: ความเร็ว y เปลี่ยนแปลงเมื่อ x เปลี่ยนแปลง นี่คือความหมายดั้งเดิมที่นิวตันแนะนำอนุพันธ์

ความหมายพีชคณิต

อนุพันธ์อย่างเป็นทางการคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้น: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h เมื่อ h → 0 เราทำขั้นตอนเล็กๆ h ดูว่าฟังก์ชันเปลี่ยนไปมากเพียงใด แล้วหารด้วยความยาวของขั้นตอน เมื่อขั้นตอนเข้าใกล้ศูนย์ อัตราส่วนจะเข้าใกล้อัตราการเปลี่ยนแปลงที่แน่นอน ณ จุดนั้น

อนุพันธ์และสุดโต่ง

ที่จุดสูงสุดและต่ำสุด แทนเจนต์จะอยู่ในแนวนอน ดังนั้น อนุพันธ์ในจุดนั้นจึงเท่ากับศูนย์ นี่เป็นเทคนิคหลักในการค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด: ตั้งค่าอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์และค้นหาราก หากเมื่อผ่านจุดดังกล่าว อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-" จะเป็นค่าสูงสุด จาก “-” ถึง “+” ขั้นต่ำ

สูตรหลัก — สูตรเดียวกับที่ใช้ในการแยกย่อยด้านบน C เป็นค่าคงที่ a > 0

การดำเนินการผกผัน — แอนติเดริเวทีฟและปริพันธ์ →