แอนติเดริเวทีฟ — พร้อมการแจกแจงรายละเอียดทุกขั้นตอนและกราฟ
ฟังก์ชัน ฉ(x)
สารต้านอนุพันธ์
แอนติเดริเวทีฟ F(x) คือฟังก์ชันที่อนุพันธ์ส่งกลับค่าเดิม: F′(x) = f(x) ค่าคงที่ C ใดๆ สามารถบวกเข้ากับแอนติเดริเวทีฟได้ จึงเป็นเหตุให้เขียนค่านี้ไว้เสมอ
วิธีการคำนวณ — ทีละขั้นตอน
ทุกขั้นตอนจะตั้งชื่อเทคนิคที่ใช้และแสดงการทดแทน เพื่อให้สามารถคัดลอกโซลูชันลงในสมุดบันทึกของคุณได้
กราฟของฟังก์ชันและแอนติเดริเวทีฟ
เส้นโค้งสีน้ำเงินคือฟังก์ชัน f(x) ส่วนเส้นโค้งสีส้มคือแอนติเดริเวทีฟ F(x) ตรวจสอบลิงก์: โดยที่ f(x) เป็นบวก ค่าแอนติเดริเวทีฟจะเพิ่มขึ้น โดยที่ f(x) เป็นลบ ค่าจะลดลง โดยที่ f(x) = 0 แอนติเดริเวทีฟมีจุดสูงสุดหรือหุบเขา นี่คือความสัมพันธ์แบบผกผันเมื่อเปรียบเทียบกับอนุพันธ์อย่างแน่นอน
ตารางแอนติเดริเวทีฟ
สูตรหลัก. C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ แถวใดก็ได้ที่ตรวจสอบได้ง่าย: แยกคอลัมน์ด้านขวาออกแล้วคุณจะได้คอลัมน์ด้านซ้าย
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
อินทิกรัลจำกัดเขต — พื้นที่ใต้กราฟ → · การดำเนินการผกผัน — อนุพันธ์ →
📚 ทฤษฎี: เทคนิคบูรณาการ
อินทิเกรตเป็นการดำเนินการผกผันกับการหาอนุพันธ์ ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ F สำหรับ f หมายถึงการเลือกฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับ f การตรวจสอบจะเหมือนกันเสมอ: แยกคำตอบออกจากกัน
ความเป็นเชิงเส้น: อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล โดยนำตัวประกอบคงที่ออกไปข้างนอก การแทนที่เชิงเส้น: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — เมื่อนิพจน์เชิงเส้นยืนอยู่ใต้อินทิกรัลแทนที่จะเป็น x
การอินทิเกรตตามส่วน: ∫u dv = u·v − ∫v du ใช้กับผลิตภัณฑ์เช่น x·eˣ หรือ x·sin x ไม่ใช่ว่าอินทิกรัลทุกตัวจะสามารถแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานได้ ตัวอย่างเช่น ∫e^(−x²) dx ไม่มีสูตรปิด และนั่นเป็นเรื่องปกติ